13-19. Переходные процессы при скачках токов в индуктивностях и напряжений на конденсаторах

До сих пор рассматривались такие цепи и режимы их работы, для которых удовлетворялись законы коммутации

    (13-91)

где — момент времени непосредственно перед коммутацией, — момент времени сразу после коммутации.

Рассмотрим теперь такие цепи и их режимы, для которых законы коммутации (13-91) не соблюдаются, и прежде всего процессы при отключении ветвей в некоторых цепях с индуктивностями. Например, пусть в цепи, питаемой от источника постоянной э. д. с. с напряжением U (рис. 13-38), мгновенно отключается ветвь с сопротивлением

Рис. 13-38.

Токи во всех ветвях непосредственно перед коммутацией легко определяются. После коммутации ток i в контуре, составленном f из первой и второй ветвей, может быть определен из дифференциального уравнения

    (13-92)

решение которого известно:

    (13-93)

где .

Для определения постоянной А нельзя воспользоваться первой из формул (13-91), ибо до отключения ветви с сопротивлением токи

были различны, а после ее отключения они, очевидно, одинаковы, и, в частности, в первый момент после коммутации . Значит, токи в момент отключения рубильника

должны измениться скачком, что приведет к возникновению бесконечно больших напряжений на индуктивностях. Но так как токи во всех ветвях схемы рис. 13-38 конечны, то для промежутка коммутации до алгебраическая сумма бесконечно больших напряжений на индуктивностях и напряжений на сопротивлениях должна уравновеситься приложенным напряжением

Интегрируя это равенство за промежуток коммутации, т. е. от до и учитывая, что ввиду конечности правой части при и стремления промежутка интегрирования к нулю интеграл от правой части равен нулю, получим:

    (13-94)

Перепишем (13-94) так:

    (13-95)

или

или

    (13-966)

Из равенства (13-966) следует, что потокосцепление контура составленного из первой и второй катушек (иначе говоря, сумма потокосцеплений с обеими катушками), до и после отключения ветви осталось неизменным:

Отсюда находим:

    (13.98)

Далее из (13-93) — постоянную

Следует иметь в виду, что бесконечно большие напряжения на катушках противоположных знаков (рис. 13-39 построен в предположений, что ) появились вследствие предположения о том, что коммутация произошла за бесконечно малый промежуток времени Эти импульсы напряжения имеют бесконечно малую длительность. Но

интегралы от этих импульсов (13-94) имеют конечные значения и равны приращениям и потокосцеплений каждой из катушек. На том же рис. 13-39 показано, что токи в катушках при о изменяются скачком и ток , протекающий в обеих катушках после отключения ветви с сопротивлением изменяется в соответствии с постоянной времени и стремится к величине

Подчеркнем, что разность энергий, запасенных в магнитных полях обеих катушек до коммутации,

    (13.100)

и после коммутации

    (13-101)

т. е.

положительна и расходуется на выделение тепла в сопротивлении искры или дуги, которая появится между контактами выключателя, и на возможное здесь излучение.

Рис. 13-39.

При решении задачи была принята идеализация процесса выключения, т. е. мгновенная коммутация. На самом деле она происходит хотя и весьма быстро, но за конечное время . При этом в сопротивлении возникающей между контактами выключателя электрической искре и расходуется часть энергии AW. Кроме того, катушки обладают распределенной емкостью между витками и между расходящимися контактами выключателя существует емкость, что приводит к образованию сложного колебательного контура, который может излучать энергию (на высокой частоте), на что расходуется другая часть энергии . Если учесть все эти процессы, то никакие бесконечно большие напряжения на катушках не возникнут и токи в них не будут изменяться скачком, т. е. будут справедливы законы коммутации (13-91), сформулированные выше, в § 13-1.

Интересно отметить, что при учете сопротивлений катушек закон коммутации для токов получается из более общего закона о неизменности в момент коммутации потокосцеплений контуров. Покажем это на примере схемы рис. 13-40.

Токи до коммутации:

    (13-103)

Потокосцепления первого контура:

а) до коммутации

    (13-104)

б) в момент коммутации

    (13-105)

Приравнивая их, получаем:

    (13-106)

Потокосцепления второго контура:

Рис. 13-40.

а) до коммутации (полагаем, что в состав второго контура до коммутации входит рубильник, сопротивление которого равно бесконечности, а индуктивность равна нулю)

    (13-107)

б) в момент коммутации

    (13-108)

Приравнивая их, получаем:

    (13-109)

Первый закон Кирхгофа для узла А в момент коммутации

    (13-110)

Решаем совместно уравнения (13-106), (13-109) и (13-110) относительно токов

    (13-111)

Учитывая (13-103), получаем:

    (13-112)

т. e. именно те же соотношения, которые дал бы закон коммутации 13-91), сформулированный выше, в § 13-1.

Легко проверить (рекомендуется читателю), что тот же результат получается для схемы рис. 13-41 и для любых схем с ветвями , при подключении к ним новых ветвей

Понимая под потокосцеплением контура алгебраическую сумму ]потокосцеплений всех входящих в него катушек, первый закон коммутации будем формулировать как обобщенный закон коммутации:

потокосцепление любого замкнутого контура в момент коммутации, равно алгебраической сумме потокосцеплений всех входящих в него катушек, которые последние имели непосредственно до коммутации Некоторые из этих катушек перед комму, тацией могли одного замкнутого контура и не составлять, а образовали его лишь после коммутации.

Например, если в рассмотренной выше схеме рис. 13-40 считать что в катушке до коммутации был ток, то при подключении ее в момент к контуру, образованному катушками нужно считать, что в этот момент рубильник мгновенно включается, рубильник мгновенно отключается (рис. 13-42).

Рис. 13-41.

Рис. 13-42.

Докажем применительно к рассматриваемой схеме (рис. 13-42) первый обобщенный закон коммутации. Для этого рассмотрим контур 2, образованный катушками в момент , т. е. в момент его образования. Так как второй закон Кирхгофа справедлив для любого момента времени, то имеем:

или

Интегрируя последнее равенство от до на основании сказанного выше получаем:

Перенося все токи для момента в левую часть равенства и учитывая, что будем иметь:

Легко видеть, что левая часть последнего равенства представляет собой результирующее потокосцепление рассматриваемого контура 2 до коммутации, как если бы в этот контур входила катушка r 13, что и доказывает приведенный выше первый обобщенный закон коммутации.

Решим задачу об определении значений токов в катушках в момент коммутации учитывая в общем случае, что все они связаны взаимными индуктивностями (рис. 13-42).

Запишем потокосцепления контуров перед коммутацией считая, как обычно, и понимая под в соответствии с данным выше определением алгебраическую сумму потокосцеплений катушек 1 и 3, которые непосредственно образуют замкнутый контур 2 после коммутации:

    (13-113)

Токи в случае любых (постоянных, гармонических и т. д.) находятся из уравнений второго закона Кирхгофа:

    (13-115)

Далее запишем потокосцепления контуров 1 и 2 в момент коммутации , учитывая, что для узла А по первому закону Кирхгофа

    (13-117)

Токи находятся из уравнения закона Кирхгофа:

    (13-119)

Приравнивая потокосцепления

    (13-121)

получаем два уравнения для определения

Отметим, что значения которые получаются решением уравнений (13-121), не изменятся, если вместо контура 2 взять контур 3, образованный катушками 2 и 3. Для доказательства запишем потокосцепления третьего контура (рис. 13-42) до и в момент коммутации.

    (13-122)

Теперь придется для определения решить совместно два следующих уравнения:

    (13-123)

Легко видеть, что на основании (13-122), (13-117) и (13-118) получаем:

    (13-124)

и соответственно на основании (13-122), (13-113) и (13-114) имеем

так что система уравнений (13-123) приводится к системе уравнений

которая в силу первого из уравнений (13-126) тождественна системе уравнений (13-121), что и доказывает сделанное выше утверждение

Рассмотрим процессы, возникающие при одновременном включении двух заряженных до разных напряжений конденсаторов к заряженному до напряжения U конденсатору (рис. 13-43).

Полагаем, что сопротивления проводов, соединяющих конденсаторы пренебрежимо малы. Поэтому постоянные времени, обусловленные ими, также ничтожны. При этих условиях напряжения на всех трех конденсаторах в момент включения рубильника могут изменяться скачком и через них могут проходить бесконечно большие токи. Все три конденсатора до включения рубильника были заряжены до различных напряжений на и имели заряды

Рис. 13-43.

Токи конденсаторов будут существовать только в течение бесконечно малого промежутка времени от — до Так как напряжение источника U и сопротивление последовательного участка цепи конечны, то суммарный ток i должен оставаться конечным и импульсы токов в трех параллельно соединенных конденсаторах должны взаимно уравновешиваться, т. е.

Интегрируя это равенство по времени от — до

или

или

    (13-128)

или

    (13-129)

приходим к равенству

    (13-130)

Отсюда следует, что изменение зарядов на всех параллельно включенных конденсаторах за время коммутации равно нулю, т. е. сумма зарядов конденсаторов перед коммутацией равна сумме их зарядов непосредственно после коммутации — закон сохранения заряда. Этот же результат получается и из (13-127),

если учесть, что после коммутации напряжения на всех параллельно включенных конденсаторах равны:

    (13-131)

На основании (13-128) и (13-131) получаем:

    (13-132)

откуда

    (13-133)

При этом все три конденсатора заменяются одним с емкостью и напряжение на нем после коммутации определяется дифференциальным уравнением

    (13-134)

решение которого известно:

    (13-135)

где

На основании сказанного выше

Тогда из (13-135) получаем

    (13-136)

и ток

Легко показать, что энергия, запасенная в конденсаторах до коммутации,

    (13-138)

больше энергии электрического поля эквивалентного конденсатора С после коммутации

    (13-139)

а избыток ее

    (13-140)

перейдет в тепло в сопротивлениях контактов рубильника, сопро тивлениях проводов и в энергию излучения сложного колебательного

контура, который получится, если учесть, что соединительные провода всегда имеют индуктивность, хотя и очень малую.

Подчеркнем, что при наличии сопротивлений во всех трех ветвях с конденсаторами напряжения на них в момент коммутации скачком не изменяются, токи в них остаются конечными, т. е. выполняется второй закон коммутации, сформулированный выше, в § 13-1.