15-4. О переходе от преобразований Фурье к преобразованиям Лапласа
Выше было показано, что если оригинал — функция 
абсолютно интегрируемая в бесконечных пределах, то существует прямое и обратное преобразования Фурье
Но если функция 
не является абсолютно интегрируемой в бесконечных пределах, 
интегралы (15-36) и (15 37) не существуют и преобразованиями Фурье или нельзя пользоваться, или можно пользоваться с очень большой осторожностью, производя все время проверку результатов, формально полученных с их помощью В этом случае целесообразно перейти от функции 
не интегрируемой абсолютно, к другой функции 
интегрируемой абсолютно в бесконечных пределах при помощи соотношения
(15-38)
где 
.
К функции 
можно применять преобразования Фурье (15-36)
(15-39)
Полагая в (15-39) 
, т. е. вводя новое комплексное переменное 
, будем иметь
(15-40)
т. е. прямое преобразование Лапласа для функции 
Применив к функции 
обратное преобразование Фурье и учитывая соотношения (15 38) и (15-39), получаем
откуда
(15-41)
Произведя в (15-41) ту же, что и выше, замену переменных, т. е. 
получаем:
(15-42)
т. е. обратное преобразование Лапласа для функции 
Таким образом, если функция 
не интегрируема абсолютно Б бесконечных пределах и не может быть преобразована по Фурье, следует перейти к преобразованиям Лапласа, которое применимо к функции 
не интегрируемой абсолютно в бесконечных пределах.
Это позволяет рассматривать преобразования Лапласа как обобщение преобразований Фурье.
