19-6. Общий метод определения отраженных волн

Как видно из рассмотренных примеров, на практике часто однородность линии нарушается — в линию включаются элементы с сосредоточенными параметрами, присоединяются линии с различными волновыми сопротивлениями, причем могут встретиться узлы параллельного включения нескольких линий. Для определения переходных режимов при падении волны на узел, так же как и при переключениях (§ 19-4), разработан общий метод, который применим при любой схеме соединения линий и цепей с сосредоточенными параметрами.

Пусть вдоль линии с волновым сопротивлением движется волна произвольной формы , причем ипад . Эта волна может быть и прямоугольной формы (рис. 19-2), и в виде импульса (рис. 19-1), и любой иной формы (например, рис. 19-9). Волна падает на узел 2—2 соединения или разветвления, схема которого может быть также любой (например, рис. 19-11, а и б).

Во всех случаях часть цепи, присоединенную к линии в точках справа, можно рассматривать как пассивный двухполюсник

(рис. 19-12, а), напряжение и ток которого представляют собой некоторые функции времени.

Так как зажимы двухполюсника 2—2 относятся и к лини с волновым сопротивлением то напряжение на этих зажимах равно сумме напряжений падающей и отраженной волн, а ток разности токов волн:

    (19-26)

Решив совместно два эти уравнения, получим:

    (19-27)

Последнее выражение является основным расчетным уравнением для определения напряжения и тока в месте отражения волны.

Рис. 19-12.

Из уравнения (19-27) следует, что ток и напряжение в линии в месте отражения волны такие же, как и при замене линии, по которой движется волна, эквивалентной схемой с сосредоточенными параметрами, состоящей из последовательно включенных источника э. д. с. с напряжением и сопротивления (рис. 19-12, б).

Вся часть цепи справа от узла 2—2 может быть также представлена эквивалентной схемой из элементов с сосредоточенными параметрами. Например, при падении волны ипад на узел соединения двух линий справа от узла еще нет зарядов и могут возникнуть только преломленные волны, движущиеся от узла в прямом направлении. Поэтому между токами и напряжениями в линиях справа от узла существует зависимость . Следовательно, при расчете возникающих отраженных волн каждая линия, примыкающая к узлу, может быть заменена сосредоточенным активным сопротивлением

Таким образом, решение задачи о переходном режиме в длинной линии при падении волны на узел разветвления может быть сведено к расчету переходного процесса в схеме замещения с сосредоточенными параметрами (рис. 19-12, б) при помощи одного из описанных в предыдущих главах методов (например, классического или операторного).

На основании сказанного можно сформулировать следующее правило. При падении на узел волны с напряжением движущейся

по линии с волновым сопротивлением напряжение и ток в этом уззле будут такими же, как и при подключении источника напряжения с внутренним сопротивлением непосредственно к рассматриваемому узлу.

Схемы замещения для расчета напряжения и тока в узлах цепей, показанных на рис. 19-11, приведены на рис. 19-13, а и б.

Зная напряжение и ток легко определить отраженную волну:

По известным значениям напряжений и токов падающей и отраженной волн, а следовательно, прямой и обратной волн можно найти распределение напряжения и тока вдоль линии в любой момент времени при помощи выражений (19-9) и построить графики, аналогичные приведенным на рис. 19-1.

Рис. 19-13.

При решении задачи операторным методом зависимость между представляется в виде

где — входное сопротивление пассивного двухполюсника в схеме замещения (рис. 19-12, б).

Уравнение (19-27) и формулы (19-28) принимают вид:

    (19-29)

и

    (19-30)

Исключая из этих уравнений, получаем:

и соответственно

где — коэффициент отражения в операторной форме:

Пример 19-5. Волна прямоугольной формы, напряжение которой переводит с линии с волновым сопротивлением на линию с волновым сопротивлением (рис. 19-14, а). Найти напряжение и ток отраженной видны;

Решение. Составим эквивалентную схему (рис 19-14, б) Напряжение и ток определим непосредственно из схемы

волна, которая пойдет по линии (преломленная волна), имеет напряжение Как видно из выражения для , в случае, если напряжение прел ленной волны больше, чем падающей. Такое возрастание напряжения имеет место при переходе волны с кабельной линии на воздушную Если, напоим волновое сопротивление кабельной линии 50 Ом, а воздушной 600 Ом то переходе волны с кабельной линии на воздушную напряжение волны увеличивается почти в 2 раза Поэтому при подключении потребителя к кабельной питающей линии между кабелем и приемником избегают включать воздушную линию

Рис. 19-14.

Рис. 19-15.

Наоборот, с целью снижения напряжения волны, приходящей к потребителю по воздушной линии, между линией и приемником можно включить участок кабеля

Волна, отразившаяся от узла 2—2,

Таким образом, волна отражается от места перехода на линию с другим волновым сопротивлением точно так же, как и от активного сопротивления, включенного в конце линии Если то отраженная волна имеет обратный знак Если то отражение происходит без перемены знака При волна переходит с одной линии на другую без отражения

Пример 19-6. Прямоугольная волна с напряжением падает на катушку с индуктивностью L и сопротивлением , включенную в конце линии (рис 19-15, а) Построить распределение напряжения и тока после отражения волны от конца линии

Решение. Составим схему замещения для этого случая (рис 19-15, а) и запишем дифференциальное уравнение по закону Кирхгофа

Его решение дает для при нулевых начальных условиях:

где отсчитывается с момента прихода волны к концу линии

На рис 19-16 и 19-17 построены зависимости от времени для случая, когда и нанесены значения , определенные по формулам (19 28)

График распределения падающей и отраженной волн вдоль линии и суммарное значение тока и напряжения в линии для момента времени, когда отраженная волна пройдет расстояние представлен на рис. 19-18

Рис. 19-16.

Рис. 19-17.

Так как напряжение и ток падающей волны не зависят от времени и постоянны по Ееличине, то в результате отражения напряжение на узле 2—2 распространяется влево от узла со скоростью v Закон распределения тока и напряжения в линии после отражения волны может быть получен непосредственно из выражении для путем замены t на

Эти выражения справедливы для интервала времени, когда волна уже отразилась от конца, но вторично отраженная от начала линии волна еще не дошла дорассматриваемой точки, т. е.

здесь отсчитывается от узла 2—2 влево, а за начало отсчета времени принят момент падения прямоугольной волны на узел 2—2

Как видно из графика (рис 19 18), в первый момент падения волны на индуктивность последняя подобна раз Рыву линии и волна отражается с таким же знаком, как и от разомкнутого конца линии По мере нарастания тока в индуктивности напряжение и ток отраженной волны уменьшаются, приближаясь асимптотически к тем значениям, которые получаются при отражении волны от конца линии, замкнутого на сопротивлении Если сопротив ление то в некоторый момент времени отраженная волна изменяет знак (рис 19-18).

Рис. 19-18

Таким образом, в момент падения волны на индуктивность напряжение удваивается, создавая опасность пробоя изоляции катушки С этим явлением приходится часто встречаться на практике когда линия подключена к трансформатору.

Рис. 19-19

Рис. 19-20.

Пример 19-7. Волна прямоугольной формы с напряжением (рис 19-19, а) переходит с линии с волновым сопротивлением на линию с волновым сопротивлением В месте соединения двух линий (узел 2—2) параллельно линии включена емкость С В конце второй линии (узел 3—3) включена индуктивность

Построить распределение напряжения и тока вдоль линии, когда волна, проходящая во вторую линию, еще не достигла ее конца

Рис. 19-21.

Решение Составим для узла 2—2 схему замещения (рис 19-19, б) Включение источника в эту схему создает на узле 2—2 напряжение

где

График зависимости для случая представлен на рис 19-20 Как видно из i рафика, напряжение на узле нарастает плавно до величины и, следовательно, вправо от этого узла пойдет волна с пологим фронтом, напряжение которой равно

Одновременно от узла 2—2 отразится волна с напряжением

Таким образом, слева от узла 2-2 существуют две волны движущийся одна навстречу другой, — падающая и отраженная, а справа идет одна преломленная

волна На рис 19-21 представлены в отдельности падающая, преломленная и отраженная волны напряжения и тока, а также результат их наложения

Из приведенного расчета очевидно, что в момент падения волны на емкость напряжение на емкости остается равным нулю, а ток равен удвоенному току волны Таким образом, емкость в момент падения волны произьодит такое же действие, как и короткое замыкание Только по мере зарядки емкости ее действие уменьшается, и по истечении времени, в несколько раз превышающею постоянную времени , в узле 2—2 устанавливается такое же напряжение, как если бы емкости С не было вовсе. Ток слева от узла 2—2 больше, чем справа, на ток зарядки емкости

Рис. 19-22.

Как видно из всех приведенных расчетов, индуктивность L, включенная в конце второй линии, не оказывает влияния ни на составление зквивалетиои схемы, ни на распределение токов и напряжений Действительно, до тех пор, пока волна не дойдет до конца второй линии, распределение токов и напряжений в линии не зависит от нагрузки в конце второй линии Только после того как волна во второй линии дойдет до узла 3—3, начинает сказываться его влияние

Отражение волны от узла 3—3 может быть рассмотрено аналогично предыдущему при помощи схемы замещения для этого узла На рис 19-22 изображена схема замещения для определения напряжения на узле 3—3 при падении на него волны, прошедшей уже через узел 2—2 (мимо емкости) В этом случае напряжение источника э. д. с. в схеме замещения уже не постоянно, а плавно нарастает по закону Решение задачи производится так же, как и в случае изменения напряжения по произвольному закону в цепи с сосредоточенными параметрами (см § 13-15)