24-6. Метод гармонического баланса

При анализе периодических процессов в нелинейных цепях широкое распространение получил метод гармонического баланса. Основой этого метода является разложение несинусоидальных величин в нелинейных элементах на гармонические составляющие и рассмотрение уравнений системы для основной гармоники.

Рассмотрим применение метода гармонического баланса на примере анализа установившихся режимов в параметроне.

Простейшая схема индуктивного параметрона может быть получена из удвоителя частоты (рис. 24-8), если его питание производить от цепи 2 — Г, а в цепь кроме резистора включить конденсатор С, емкость которого выбирается так, чтобы в этой цепи возникал ток с частотой в два раза меньшей, чем частота напряжения источника питания. Обозначим частоту напряжения источника питания . Тогда будем искать условия, при которых в цепи может возникнуть ток с частотой .

Если к зажимам удвоителя частоты (рис. 24-8) подвести синусоидальный ток с частотой а цепь обмоток 1 разомкнуть, то в обмотках цепи 1 наведутся равные по величине и противоположные по направлению э. д. с., сумма которых даст напряжение их, равное нулю. Однако при наличии в цепи 1 тока с частотой со влияние цепи 2 на цепь 1 уже начинает сказываться и при определенных условиях может сопровождаться передачей энергии из цепи 2 в цепь 1.

Это непосредственно вытекает из уравнения цепи если к зажимам 2 подводится ток, изменяющийся с частотой

Решим задачу методом аналитической аппроксимации в сочетании с методом гармонического баланса.

При наличии токов во всех трех обмотках м. д. с. магнитопроводов а и б соответственно

    (24-30)

Зависимость между потоком и м. д. с. выражается уравнением (24-26). Потокосцепление цепи 1

Составим дифференциальное уравнение цепи 1 по второму закону Кирхгофа

и будем искать решение для установившегося тока в цепи 1 в виде

    (24-33)

считая, что

    (24-34)

В соответствии с методом гармонического баланса пренебрегаем всеми высшими гармониками в цепи 1.

Выразим в через (24-26) и (24-30). После преобразований получим:

    (24-35)

где

Подставив из (24-33) и (24-34) в уравнение (24-35) и преобразовав степени синуса и косинуса по известным тригонометрическим формулам, для первой гармоники получим:

где

Подставим в уравнение (24-32). После дифференцирования, приравняв нулю коэффициенты при получим:

    (24-36)

где

Из уравнений (24-36) находим:

    (24-37)

и

Так как — величина вещественная, то корень в выражении (24-37) следует брать со знаком плюс и соответственно со знаком минус выражение (24-38).

Из выражения (24-37) непосредственно следует, что колебания в цепи 1 возникают при условии

    (24-39)

Для уяснения физического смысла отдельных членов уравнения (94-37) преобразуем его к следующему виду:

и, разделив на подставим значения . Тогда имеем:

где — действующие токи в цепях 1 и 2.

Величина имеет размерность индуктивности и может рассматриваться, как та часть собственной индуктивности цепи 1, которая не зависит от тока . Величина есть та часть собственной индуктивности цепи которая зависит от тока . В целом можно рассматривать как эквивалентное полное сопротивление цепи

где

Чем больший ток требуется получить, тем больше должно быть , а следовательно, и произведение Минимальное значение для этого произведения, при котором колебания в цепи 1 прекращаются, находятся из условия Если обозначить собственную частоту то и представляет собой расстройку собственной частоты относительно задающей со, a k является коэффициентам затухания. Коэффициент выражает связь между контурами 1 и 2. Чем больше , тем соответственно больше .

Расчет в этом примере, так же как и в других случаях аналитической аппроксимации, нуждается в проверке соответствия принятой аппроксимации реальной характеристике магнитной системы. При подстановке в формулы (24-30) значения не должны выходить за пределы применимости формулы (24-26).

Рассмотренный расчет соответствует упрощенной схеме параметрона, в котором под влиянием тока в цепи 2 с частотой в цепи 1 возникает ток с частотой со, причем фаза этого тока в зависимости от начальных условий может быть либо либо