19-2. Общее решение уравнений однородной линии

Для изучения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами рассмотрим дифференциальные уравнения, выведенные в § 18-1 для однородной линии:

— параметры единицы длины линии, — координата выбранной точки, отсчитываемая от начала линии.

Если можно пренебречь потерями в линии, т. е. считать, что то уравнения (19-1) принимают вид:

В общем случае решение этих уравнений для однородной линии (т. е. при не зависящих от ) записывается так:

    (19-36)

где называется скоростью волны или волновой скоростью и численно равна фазовой скорости (гл. 18).

Здесь функции представляют собой распредения вдоль линии напряжений прямой и обратной волн в момент времени

Напряжение и ток волны связаны между собой законом о для волн

где

— характеристическое или волновое сопротивление линии (гл. 18) Рассмотрим каждую из составляющих выражения в отдельности и проследим, как зависят от времени t и координаты составляющие напряжения .

Рис. 19-1.

Допустим, что в некоторый момент времени распределение напряжения вдоль линии может быть представлено кривой

изображенной на рис. 19-1, а. Тогда в момент времени распределение напряжения вдоль линий может быть записано так:

где

Из, последнего выражения видно, что кривая по отношению к кривой смещена вправо на расстояние т. е. увеличение t приводит к перемещению кривой в направлении

возрастания . Иными словами, выражает напряжение волны, движущейся в сторону возрастания координаты т. е. прямой волны. Точка линии с координатой для которой справедливо условие, что при при называется фронтом прямой волны. Фронт прямой волны движется в сторону возрастания координаты со скоростью V.

Если в точке совпадающей с фронтом волны в момент установить прибор, записывающий мгновенное значение напряжения, то он запишет кривую 1 (рис. 19-1, б). Эта кривая представляет собой зеркальное изображение кривой при соответствующем изменении масштаба вдоль оси абсцисс. Прибор, установленный в точке (рис. 19-1, а), запишет аналогичную кривую 2, которая, однако, смещена в сторону возрастания времени на величину

где — расстояние между точками

При исследовании изменения напряжения волны в зависимости от времени целесообразно выражению (19-6) придать следующий вид:

В точке с координатой напряжение волны описывается той же функцией но с запаздыванием во времени на величину .

Рассуждая совершенно аналогично, можно показать (рис. 19-1, в и г), что составляющая представляет собой напряжение волны, движущейся в сторону убывания координаты х, т. е. обратной волны:

Координата фронта обратной волны характеризуется условием при при Фронт обратной волны движется в сторону убывания координаты со скоростью

Скорость движения волн в воздушных линиях примерно равна скорости света в вакууме . В кабелях скорость распространения волн примерно вдвое меньше, чем в воздушных линиях (гл. 18).

Если известны зависимости в какой-либо точке линии и волновая скорость v, то по уравнению подобно тому, как это сделано на рис. 19-1, легко построить кривые в любой момент времени.

Так как между напряжением и током волны существует прямая пропорциональность (19-4) и коэффициент пропорциональности (19-5) зависит только от параметров линии, то в дальнейшем часто будем рассматривать только напряжение волны.

При исследовании волн в линиях иногда удобно выражать каждую из волн только в функции времени, находя эту функцию в какой-либо точке линии, например и принимая за начало отсчета времени

момент, когда фронт волны дойдет до этой точки. Так, например, для изображенных на рис. 19-1 сплошными линиями, такими точками соответственно являются для

Бели известны функции в точках и то переход к общему выражению каждой из волн выполняется согласно

В любой момент времени напряжение и ток в линии можно рассматривать как сумму только двух волн, прямой и обратной Каждую из двух волн в свою очередь иногда целесообразно представить на основании принципа наложения в виде суммы отдельных волн более простой формы.

При анализе отражения волн оказывается недостаточным подразделение волн на прямые и обратные. Пусть, например, прямая или обратная волна движется по линии и падает на узел соединения с линией, имеющей другие параметры. В месте соединения двух линий эта волна распадается на две волны, одна из которых проходит из первой линии во вторую, а другая отражается от места соединения двух линий По аналогии с оптикой первую, исходную волну называют падающей (пад), а две другие — соответственно отраженной и преломленной или проходящей.

При отражении волны от конца линии преломленной волны, естественно, нет.