13-12. Периодический (колебательный) разряд конденсатора

Разряд будет периодическим или колебательным, если сопротивление контура меньше критического , т. е. корни характеристического уравнения (13-34) комплексные и сопряженные. Обозначим в (13-35)

    (13-48)

иак что

назовем — угловой частотой собственных колебаний контура, — периодом его собственных колебаний.

Для корней получим:

    (13-51)

Решение дифференциального уравнения (13-33) при комплексных корнях его характеристического уравнения удобно записать в виде

    (13-52)

Тогда ток

    (13-53)

Так как переходное напряжение на емкости и ток по-прежнему равны их свободным значениям и начальные условия такие же, как в двух предыдущих случаях, то по формулам (13-52) и (13-53) получим:

Из последних соотношений находим:

Подставляя значения в выражения (13-52) и (13-53) и обозначая для краткости

получим окончательные выражения:

    (13-54)

Кривые изменения и i даны на рис. 13-19. Ток и напряжения на емкости и на индуктивности представляются затухающими синусоидальными функциями с угловой частотой собственных колебаний контура и коэффициентом затухания а, причем как так и а определяются только параметрами контура и С. Начальная фаза зависит также только от параметров контура, в то время как зависят и от параметров контура, и от начального напряжения на емкости. Пользуясь и для затухающих гармонических процессов понятием сдвига фаз, отметим, что ток опережает по фазе напряжение на емкости на угол и отстает от напряжения на индуктивности на угол Кривые и i касаются огибающих (на рис. 13-19 изображены пунктиром), когда синус равен единице.

Рис. 13-19.

Строго говоря, кривые и i не являются синусоидами, а только похожи на синусоиды и максимумы их не лежат посередине между точками пересечения ими оси абсцисс (в пределах каждой половины периода зона возрастания ординат занимает меньше, а зона их убывания — больше четверти периода. Это объясняется тем, что в формулы входит множитель затухания ).

Рис. 13-20.

При изучении синусоидальных (переменных) токов мгновенные значения получают, проектируя на мнимую ось векторы, длины которых равны амплитудам, и вращающиеся против направления движения стрелки часов с угловой скоростью со. Также и мгновенные значения [формулы (13-54) — (13-56)] можно найти как проекции на вертикальную линию векторов , вращающихся с угловой скоростью длины которых уменьшаются пропорционально . Концы этих векторов описывают не окружности, как при синусоидальных токах, а логарифмические спирали. Таким образом, для

затухающих синусоидальных колебаний может быть построена векторная диаграмма, приведенная на рис. 13-20. Эта диаграмма наглядно показывает, что напряжение на емкости отстает от тока на угол а напряжение на индуктивности опережает ток на угол При этом радиусы-векторы складываясь геометрически, образуют равнобедренный треугольник не только в начальный момент времени

но и б любой следующий момент

Полученные равенства, естественно, вытекают из второго закона Кирхгофа для мгновенных значений

Быстроту затухания рассматриваемых колебаний характеризуют отношением напряжений в моменты времени t и

Это отношение, называемое декрементом колебания, — постоянная величина, не зависящая от времени t, а зависящая лишь от параметров цепи r, С.

Рис. 13-21.

Часто быстроту затухания колебаний характеризуют натуральным логарифмом этого отношения

который называется логарифмическим декрементом колебания.

Если кривая затухает медленно, то отношение ее значений, отстоящих на время друг от Друга, близко к единице, логарифмический декремент близок к нулю и логарифмическая спираль закручивается медленно. Если же затухание значительное, то логарифмическая спираль закручивается весьма быстро.

На рис. 13-21 представлены кривые изменения отношения амплитуд колебаний в конце и т. д. периодов к начальной амплитуде, построенные для разных значений логарифмического декремента .

Сопротивление оказывает существенное влияние на скорость затухания колебательного разряда емкости. Кроме того, как показывает равенство (13-49), по мере увеличения сопротивления уменьшается частота собственных колебаний и увеличивается их период Когда достигнет значения частота собственных колебаний будет равна нулю, период бесконечности, что соответствует апериодическому разряду.

При колебательном разряде конденсатора через идеальную катушку () получим:

    (13-58)

т. е. затухание процесса равно нулю, а частота собственных колебаний имеет наибольшее возможное значение и равна резонансной частоте последовательного контура.

Из равенств (13-54) — (13-56) следует, что будут изменяться гармонически с угловой частотой

Ток i отстает по фазе на от напряжения на индуктивности и опережает на напряжение на емкости. Поскольку сопротивление отсутствует, первоначальный запас энергии остается неизменным и энергия попеременно переходит из электрического поля в магнитное, и наоборот.

Рис. 13-22.