20-9. Расчет разветвленных нелинейных цепей итерационным методом (методом последовательных приближений)

При расчете цепей с нелинейными элементами очень часто применяют приближенный аналитический способ решения нелинейных алгебраических уравнений, называемый методом итерации.

Рис. 20-29.

Для выяснения сущности этого метода рассмотрим сначала произвольную цепь с одним нелинейным элементом. Схема с одним нелинейным элементом, на которой источник с э. д. с. Е и сопротивлением заменяют линейную часть цепи произвольной конфигурации, показана на рис. 20-29, а. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента задана (кривая 1 или 2 на рис. 20-29, б).

Найдем прежде всего условия, при которых сходится итерационный процесс для двух значений сопротивлений и для двух типов нелинейных элементов с различными вольт-амперными характеристиками.

Пусть э. д. с. и сопротивление имеют такие значения, при которых внешняя характеристика эквивалентного источника изображается прямой (рис. 20-29, б). Очевидно, что графически рабочий режим цепи в случае первого нелинейного элемента определится точкой а.

Для того чтобы найти напряжение и ток в цепи методом итерации, зададимся напряжением U, например, равным Е и по кривой 1 найдем ток (точка на рис. 20-29, б). Затем по уравнению

определим уточненное значение напряжения (что соответствует на рис. 20-29, б переходу из точки в точку q). Поме этого найдем по вольт-амперной характеристике новое значение тока (точка s), а затем по уравнению (20-4) определим новое уточненное значение напряжения U и т. д. Из рис. 20-29, б непосредственно следует, что при заданных значениях и известной вольт-амперной характеристике нелинейного элемента итерационный процесс в этом случае сходится.

Можно показать (в курсе математики это положение доказывается), что условие сходимости требует, чтобы в окрестности искомого корня (точка а) абсолютное значение производной было меньше единицы, и чем меньше значение тем быстрее сходится процесс.

Для исследуемой схемы после дифференцирования (20-4) получим:

причем необходимо, чтобы

Так как дифференциальное сопротивление определяется в некотором масштабе значением а, а сопротивление в том же масштабе значением а (рис. 20-29, б), то в окрестности точки а условие (20-5) выполняется.

Другой способ вычислений основан на применении уравнения для тока

В этом случае зададимся током и по кривой 1 найдем значение напряжения U, а по формуле (20-6) определим уточненное значение тока. Затем по вольт-амперной характеристике 1 найдем новое значение напряжения и т. д.

При тех же значениях и вольт-амперной характеристике нелинейного элемента, т. е. той же рабочей точке а, как показывают расчеты, итерационный процесс расходится.

Однако легко убедиться, что при помощи второго способа вычислений можно найти методом итерации ток и напряжение, соответствующие рабочей точке b (рис. 20-29, б), т. е. при сопротивлении значительно большем, чем в первом случае (внешняя характеристика ). Это объясняется тем, что условие сходимости при втором способе расчета записывается так:

т. е. необходимо другое соотношение между и дифференциальным сопротивлением гл в рабочей точке.

Если в схеме на рис. 20-29, а заменить нелинейный элемент другим с вольт-амперной характеристикой 2 (рис. 20-29, б), то нетрудно заметить, что последовательность вычислений и условия сходимости итерационного процесса для точек с и d получаются такими же, как для точек Но итерационный процесс в точке d сходится медленнее, чем в точке b, так как отношение в этой точке лишь немного меньше единицы. в

Чтобы сделать некоторые обобщения, рассмотрим еще два способа расчета, непосредственно вытекающие из уравнения

где — статическое сопротивление нелинейного элемента (рис. 20-29, а). Для применения этой формулы целесообразно предварительно построить зависимость

Рис. 20-30.

Последовательность расчета в этом случае непосредственно следует из уравнения (20-8). Условия сходимости находим дифференцированием уравнения (20-8):

Чтобы получить более удобное выражение для оценки условий сходимости, установим связь между статическим и дифференциальным сопротивлениями нелинейного элемента в виде соотношения

откуда

Заменив в уравнении по (20-10) и с учетом (20-8), получим условие сходимости:

Из рис. 20-30 непосредственно следует, что для вольт-амперных характеристик с положительным сопротивлением и с уменьшающимся статическим сопротивлением (на рис 20-30 кривая 1) дифференциальное сопротивление меньше статического

, т. e. абсолютное значение разности всегда меньше . Поэтому условие сходимости (20-11) выполняется при любом значении сопротивления

Аналогично можно показать, что для вольт-амперных характеристик с возрастающим статическим сопротивлением (на рис. 20-30 кривая 2) расчетное уравнение нужно составить относительно напряжения на нелинейном элементе, т. е.

При этом условие сходимости имеет вид:

    (20-13)

Для вольт-амперных характеристик с положительным сопротивлением и с возрастающим сопротивлением статическое сопротивление меньше дифференциального и их отношение всегда меньше единицы (рис. 20-30). Поэтому условие сходимости (20-13) выполняется при любом значении сопротивления Конечно, быстрота сходимости итерационного процесса зависит не только от вида вольт-амперных характеристик и выбора начальных приближений, но и от значения сопротивления Однако основным фактором, определяющим решение нелинейных уравнений методом итерации, является способ составления расчетных уравнений.

Рис. 20-31.

Поскольку при указанных способах расчета (20-8) и (20-12) итерационный процесс сходится при любом значении сопротивления его можно применить для расчета сложной разветвленной цепи с любым числом нелинейных элементов.

На рис. 20-31, а показан нелинейный элемент присоединенный к зажимам разветвленной активной нелинейной цепи (условно обозначенной прямоугольником с буквами АН) с э. д. с., не зависящими от токов. Такую активную нелинейную цепь можно представить в виде активного двухполюсника с эквивалентной и нелинейным элементом (рис. 20-31, б). В результате получилась неразветвленная схема с двумя нелинейными элементами, расчет которой можно выполнить изложенным способом.

Для иллюстрации методики расчета рассмотрим примеры.

Пример 20-1. На рис. 20-32 изображены вольт-амперные характеристики нелинейных элементов, показанных на схеме рис 20-31, б, э д. с Определить ток и напряжения на участках итерационным способом, применяя расчетные уравнения (20-8) и (20-12).

Решение. Запишем уравнение (20-8) для схемы рис.

где s — порядковый номер приближения.

Расчет по этой формуле при помощи вольт-амперных характеристик (рис. 20-32) праведен в табл. 20-1.

Таблица 20-1

Таблица 20-2

Таблица 20-3

Рис. 20-32

Из этой таблицы видно, что итерационный процесс довольно быстро заканчивается, несмотря на ухудшение условий сходимости вследствие влияния нелинейного сопротивления . В результате получены значения тока и напряжений на участках, практически совпадающие с величинами, найденными графически (рис 20-32).

Можно показать, что при расчете напряжения U по формуле

получается расходящийся процесс, что иллюстрируется табл. 20-2.

Однако, если применить расчетное уравнение (20-12) для определения напряжения на нелинейном элементе с возрастающим сопротивлением (рис 20-31, б), то итерационный процесс сойдется, Расчетное уравнение в этом случае

По этому уравнению и вольт-амперным характеристикам их (Г) и составлена табл. 20-3.

Из этой таблицы видно, что итерационный процесс практически заканчивается после шестого приближения

Пример 20-2. На рис 20-33 изображена мостовая схема с двумя нелинейными элементами Вольт-амперные характеристики этих нелинейных элементов заданы (рис. 20-34) Пользуясь итерационным методом, определить токи в ветвях с нелинейными элементами и напряжения на их зажимах.

Решение. По методу контурных токов, запишем уравнения:

где — контурные токи.

Выразим контурный ток из третьего уравнения и подставим его значение в первое и второе. После преобразований получим:

иди при заданных числовых значениях сопротивлений и э. д. с.

откуда

Так как статическое сопротивление первого нелинейного элемента убывает с увеличением тока, а статическое сопротивление второго нелинейного элемента возрастает, то для обеспечения сходимости итерационного процесса необходимо пользоваться уравнениями для тока и напряжения и

Рис. 20-33.

Рис. 20-34.

Из уравнений, определяющих токи получим:

Результаты расчета сведены в табл 20-4.

Таблица 20-4

Из этой таблицы видно, что итерационный процесс практически заканчивается после четвертого приближения.