6-5. Расчеты разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности

Расчеты разветвленных цепей можно вести, составляя уравнения по первому и второму законам Кирхгофа или методом контурных токов. Метод узловых потенциалов непосредственно непригоден. Объясняется это тем, что ток в любой ветви зависит не только от э. д. с находящегося в ней источника и от потенциалов тех узлов, к которым ветвь присоединена, но и от токов других ветвей, которые наводят э. д. с. взаимной индукции. Поэтому нельзя простым путем выразить токи ветвей через потенциалы узлов и э. д. с. источников, как в цепях без индуктивно связанных элементов.

Рис. 6-10.

Применение метода узловых потенциалов требует особых приемов и здесь не рассматривается.

Теорему об активном двухполюснике можно применять, если внешняя по отношению к двухполюснику часть цепи не имеет индуктивных связей с той частью цепи, которая входит в состав двухполюсника. Разумеется, что нельзя пользоваться выведенными ранее формулами для преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно.

Чтобы обойти указанные выше ограничения в применении расчетных методов, в ряде случаев целесообразно исключить индуктивные связи, перейдя к эквивалентным схемам без индуктивных связей (см. следующий параграф).

При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа э. д с. взаимной индукции обычно учитываются как соответствующие напряжения. Знак комплексного напряжения ± на элементе k определяется на основании сопоставления направления обхода элемента k и положительного направления тока в элементе s. Если эти направления относительно одноименных зажимов одинаковы, то напряжение равно . В противном случае напряжение равно . Это правило знаков вытекает из обоснований, приведенных в § 6-2.

В качестве примера запишем уравнения по законам Кирхгофа для схемы, представленной на рис. 6-10. Для большей ясности напряжения в уравнениях выпишем в порядке расположения элементов контура без приведения подобных членов:

Приведем также уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для контурных токов:

Сокращенно последние уравнения можно записать так:

где — комплексные сопротивления контуров 1, 2 и 3;

- комплексные взаимные (общие) сопротивления контуров 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1;

— комплексные контурные э. д. с. Например,

Заметим, что в комплексные сопротивления контуров и в коми лексные взаимные сопротивления двух контуров слагаемые входят со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадай? или не совпадают по отношению к одноименным зажимам элементов цепи k и s направление обхода контура через элемент k и положительное направление тока через элемент

Для цепей, содержащих индуктивно связанные элементы, справедливо свойство взаимности. Доказательство этого положения ничем не отличается от приведенного для цепей постоянного тока.

Пример 6-1. К зажимам 1—1 цепи (рис 6-11) подведено питание Определить напряжение между разомкнутыми зажимами 2—2. Дано .

Рис. 6-11.

Рис. 6-12.

Решение. Полагаем . Находим:

Напряжение определяем, обходя схему от зажима 2 к зажиму

Если бы нижний конец индуктивности был одноименным с верхним концом индуктивности то направление обхода элемента и направление тока в элементе относительно одноименных зажимов были бы различными. Тогда перед слагаемым следовало бы поставить знак минус и напряжение было бы равно .

Пример 6-2. Определить входное сопротивление цепи, показанной на рис. 6-12. Дано

Решение. Зададимся напряжением подсчитаем ток и затем найдем Заметим, что если бы не было взаимной индуктивности, то ток бил бы равен нулю, ток равнялся току и было бы равно

Для контура

Для контура 3—3—2—2—3

откуда

Подставив (в) в (а), получим:

откуда

(см. также пример 6-3).