3-8. Ток и напряжения при последовательном соединении сопротивления, Индуктивности и емкости

Пусть в схеме (рис. 3-8), состоящей из последовательно соединенных сопротивления , индуктивности емкости С, известен ток

Выясним, каковы напряжения на отдельных элементах и на входных зажимах.

На основании второго закона Кирхгофа

где

Постоянная интегрирования в выражении для принята равной нулю, так как в установившемся режиме, как уже указывалось, напряжение на любом участке цепи синусоидально.

Рис. 3-8.

Из полученных выражений для видно, что напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол .

На рис. 3-9 показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений для частного случая, когда амплитуда напряжения на индуктивности больше амплитуды напряжения на емкости Синусоида совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды сдвинуты относительно синусоиды тока на угол соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Таким образом, напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол (находятся в противофазе).

Рис. 3-9.

Ординаты кривой напряжения

согласно (3-13) равны алгебраической сумме ординат кривых

Определение напряжения и сводится к вычислению которые могут быть найдены непосредственным суммированием трех синусоидальных функций времени с последующими тригонометрическими преобразованиями. Однако, как указывалось, - проще всего задача решается комплексным методом

Запишем комплексный ток и комплексные напряжения на основании выражений для мгновенного тока и мгновенных напряжений:

    (3-18)

В выражениях для учтено, что

а

Сопоставляя выражения для мгновенных напряжений (3-16) с комплексными напряжениями (3-20), можно установить простое правило перехода от производной и интеграла синусоидальной функции времени к изображающим их комплексным величинам: синусоидальная функция заменяется изображающей ее комплексной величиной, дифференцирование заменяется умножением на а интегрирование делением на

Рис. 3-10.

Сумме синусоидальных напряжений (3-13) соответствует сумма изображающих их векторов или комплексных действующих напряжений:

Это соотношение представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме. Представим его на векторной диаграмме (рис. 3-10).

Напряжение совпадает по фазе с током i, поэтому вектор изобразим одинаково направленным с вектором I. Напряжение опережает по. фазе i на поэтому вектор сдвинем относительно вектора на угол «вперед» (против направления движения часовой стрелки). Напряжение отстает по фазе от i на , поэтому вектор сдвинем относительно вектора на угол «назад» (по направлению движения часовой стрелки).

Эти соображения о взаимном расположении векторов напряжения и тока непосредственно следуют и из записи выражений комплексных напряжений

Действительно, вектор получается умножением на вещественную величину . Аргумент комплексной величины такой же, как и комплексного тока поэтому направление вектора совпадает с направлением вектора 1. Вектор получается умножением на Умножение тока на вещественную величину не изменяет аргумента, а умножение на увеличивает аргумент на Следовательно, вектор повернут относительно вектора на угол . Вектор получается делением I на Деление комплексной величины на не изменяет аргумента, а деление на что равносильно умножению на уменьшает аргумент на . Следовательно, вектор повернут относительно вектора на угол «назад».

Так как умножение и деление вектора на j приводит к повороту вектора на соответственно «вперед» и «назад», то множитель часто называют оператором поворота на

Сложив векторы получим вектор U. Его длина определяет действующее напряжение а положение относительно координатных осей начальную фазу

Решим ту же задачу аналитически. Теперь уравнение (3-22) будем рассматривать как соотношение между комплексными числами. Подставив в него значения комплексных напряжений, получим:

или

Это соотношение между комплексными напряжением и током называют законом Ома в комплексной форме. Записав комплексные величины в показательной форме, получим:

где

Так как

Таким образом, амплитуда и начальная фаза напряжения на зажимах цепи определены и можно записать выражение для мгновенного напряжения:

В заключение заметим, что уравнение для комплексных токов и напряжений и векторные диаграммы взяимно связаны Уравнения можно рассматривать как запись геометрических суммирований

векторов, выполняемых на векторной диаграмме, и наоборот, векторную диаграмму можно рассматривать как графическое представление соотношений между комплексными величинами в уравнении.