2-4. Применение топологических методов для расчета цепей

Ранее было показано, что для определения входных и взаимных сопротивлений и проводимостей схемы, а также коэффициентов передачи напряжений и токов приходится в общем случае вычислять определители системы узловых уравнений.

Такие определители для разветвленных цепей обычно содержат, как уже было отмечено, большое число одинаковых членов с разными знаками, которые выявляются, как правило, только в конце преобразований и сокращаются.

Таким образом, представляет не только теоретический, но и большой практический интерес знакомство с некоторыми способами разложения узловых и контурных определителей при полном или частичном отсутствии лишних отрицательных и равных им положительных слагаемых. Рассмотрим несколько способов такого разложения и установим между ними связь.

Для электрической схемы, имеющей узлов, при запишем определитель узловой проводимости:

Пусть проводимость между узлами i и равна сумме проводимостей двух вегвей

Тогда определитель (2-13) можно представить в виде суммы

В этом выражении алгебраическое дополнение получается из (2-13) вычеркиванием строки и столбца и умножением на . Оно соответствует электрической схеме, в которой ветвь с проводимостью закорочена; определитель получается из (2-13) при что соответствует схеме, в которой ветвь с проводимостью разомкнута. Очевидно, что разложение

вида (2-14) вообще можно выполнить относительно любого элемента выраженного в виде некоторой сммы проводимостей. Элементы главной диагонали определителя узловой проводимости (2-13), как правило, равны суммам проводимостей соответствующих ветвей. Поэтому разложение (2-14) выполняется обычно относительно ветви, присоединенной между и базисным (заземленным) узлами, с проводимостью, входящей в элемент главной диагонали (соответствующей строке и столбцу), которую обозначим в дальнейшем При этом

где ветвь с проводимостью в общем случае остается по-прежнему присоединенной между (не базисным) узлами.

В этом случае вместо равенства (2-14) нужно записать:

где нижний индекс у минора первого слагаемого обозначает, что ветвь закорочена, а верхний индекс у второго слагаемого указывает, что та же ветвь в той же схеме разомкнута, при этом — положительное, так как проводимость входит в элемент, стоящий на главной диагонали (алгебраическое дополнение равно минору).

Рис. 2-8.

Для иллюстрации применения формулы разложения (2-15) рассмотрим схему на рис. 1-22, а, для которой была записана система уравнений (1-35) относительно потенциалов при и определитель (1-36):

Разложим этот определитель относительно ветвей (рис. 2-8), присоединенных к базисному узлу 4. Проводимости в приведенном определителе (подчеркнуты) представляют собой избыточные члены соответствующих строк или столбцов. Это означает, что при удалении такой проводимости из диагонального элемента сумма всех остальных элементов соответствующей строки и столбца равна нулю.

По формуле (2-15) получим:

Полученным минору и определителю соответствуют схемы на рис. 2-9, а и б. Разлагая каждый из определителей (2-16) согласно равенству (2-15) по проводимостям других ветвей, присоединенных к базисному узлу, можно получить еще более простые выражения.

Рис. 2-9.

Рис. 2-10.

Например, разложим определитель относительно проводимости

Минору и определителю соответствуют схемы, показанные соответственно на рис. 2-10, а и б. Дальнейшее разложение по формуле (2-15) относительно проводимости приводит к следующим выражениям:

Аналогично можно получить разложение для первого слагаемого (2-16):

После суммирования выражений для получается:

где (рис. 2-11), поскольку этот определитель получается для схемы, в которой минор так как

его значение находится при (короткое замыкание этих ветвей).

Таким образом, каждому слагаемому (2-19) соответствует определенная схема, которая легко получается из основной схемы путем наложения условий на проводимости ветвей, присоединенных к базисному узлу.

Структура полученной формулы разложения определителя узловой проводимости (2-19) позволяет применить ее для разложения определителя, составленного для более сложной цепи.

Рис. 2-11.

Рис. 2-12.

Например, определитель (1-41) для схемы рис. 1-23, б может быть разложен по избыточным элементам главной диагонали (по проводимостям ) в виде

где .

Каждому слагаемому этого определителя соответствует схема, полученная из рис. 1-23, б при наложением условий на значения проводимостей ветвей, присоединенных к базисному узлу. Например, находится для схемы рис. 2-12, полученной из заданной схемы при

Обобщая выражения (2-19) и (2-20), составим общее выражение для разложения узлового определителя по ветвям присоединенным к базисному узлу:

где верхние индексы, указывающие на номера разомкнутых ветвей, опущены, поскольку одни нижние индексы определяют как закороченные, так и разомкнутые ветви. Например, слагаемое вида соответствует схеме с закороченной ветвью и с разомкнутыми остальными ветвями; число таких слагаемых, очевидно, равно числу ветвей, присоединенных к базисному узлу. Слагаемые вида соответствуют схемам с двумя закороченными ветвями и остальными разомкнутыми, причем число таких слагаемых равно числу сочетаний по два из у проводимостей.

Аналогичный смысл имеют остальные слагаемые. Разложение определителя по формуле (2-21) называется разложением по узлу или по избыточным членам главной диагонали (по избыткам), а разложение по формуле (2-15) называется разложением по ветви.

Как указывалось, для определения входных или взаимных сопротивлений, проводимостей или коэффициентов передачи токов и напряжений можно пользоваться не только узловыми, но и контурными уравнениями. В последнем случае приходится вычислять определитель контурных сопротивлений

Покажем, что структура контурных уравнений позволяет во многих случаях пользоваться для разложения определителя формулами, аналогичными (2-15) и (2-21).

В определителе системы независимых контурных уравнений

собственное сопротивление каждого контура записывается на главной диагонали и всегда равно сумме сопротивлений ветвей, входящих в соответствующий контур. Представим в виде где — сопротивление одной из ветвей, тогда определитель можно представить в виде

где минор получается из (2-22) вычеркиванием строки и столбца и соответствует электрической схеме, в которой ветвь с сопротивлением разомкнута; определитель получается из (2-22) при сопротивлении что соответствует схеме, в которой ветвь с сопротивлением закорочена. Поскольку элемент находится на главной диагонали, то минор всегда имеет положительный знак.

Для иллюстрации применения формулы (2-23) рассмотрим разложение определителя схемы, показанной на рис. 2-1:

В этом определителе сопротивления входят в диагональные элементы в качестве избыточных слагаемых. Следовательно, в соответствии с уравнением (2-23) разложение определителя можно выполнить по формуле (2-19) после простой замены проводимостей соответствующими сопротивлениями:

где поскольку этот определитель получается для схемы при так как значение этого определителя находится при (размыкание ветвей с сопротивлениями ).

Каждому слагаемому (2-25) соответствует определенная схема, которая легко получается из основной путем наложения условий на сопротивления ветвей связи, входящих в независимые контуры.

Рис. 2-13

Рис. 2-14.

Например, минору соответствует схема, нолученная из схемы рис. 2-1 при (рис. 2-13), для которой получается:

Минору соответствует схема, на рис. 2-14, полученная из схемы рис. 2-1 при Для этой схемы

Аналогично находим остальные составляющие выражения (2-25); в результате получим:

Выражения, определяющие разложения определителей связаны между собой довольно простым соотношением:

    (2-27 а)

или

    (2-27 б)

где проводимость каждой ветви — число ветвей. Например, чтобы получить разложение определителя DM для схемы рис. 2-1, достаточно умножить уравнение (2-26) на произведение

проводимостей всех шести ветвей:

Подчеркнем, что число слагаемых в определителях для одной и той же схемы одинаково.

Рис. 2-15.

К числу топологических понятий, которыми пользуются при анализе цепей, относится дерево. Для количественной характеристики дерева удобно применять произведение проводимостей его ветвей.

Определитель определенной матрицы узловых проводимостей равен сумме произведений проводимостей ветвей каждого дерева. Например, определитель схемы рис. 2-15 состоит из 16 слагаемых: , и т. д.Для схемы, имеющей форму полного многоугольника с у узлами, число деревьев Например, для схемы полного пятиугольника , а для мостовой схемы (рис. 2-15) . Если схема имеет вид неполного многоугольника, то для определения числа деревьев надо найти численное значение определителя каждый элемент которого принят равным единице. Например, для схемы, показанной на рис. 2-16, определитель

где вершины 1 и 3 приняты в отличие от приведенного ранее определения узла за узлы схемы, что не нарушает общности полученных выводов. Приняв проводимость каждой ветви равной единице, найдем число деревьев:

Рис. 2-16.

Действительно, количественная характеристика каждого дерева равна произведению проводимостей одинакового числа ветвей, или порядку определителя. Это произведение численно равно единице, так как проводимость каждой ветви принята равной единице и число деревьев в указанной схеме равно 8. Деревья

можно изобразить в виде неориентированных подграфов (рис. 2-17), где каждая ветвь обозначена конечным отрезком.

Несмотря на то что разложение определителя на сумму произведений проводимостей ветвей деревьев дает лишь положительные члены, число математических операций при вычислении такого определителя остается еще значительным. Можно уменьшить число операций суммирования и умножения, разложив определитель по другим топологическим величинам. Например, можно пользоваться понятием пути (§ 1-8), численное значение которого 11 равно произведению проводимостей ветвей пути, и понятием минора пути представляющего собой значение определителя определенной матрицы узловых проводимостей схемы, остающейся после того, как все ветви пути замкнуты накоротко; минор пути равен единице, если путь содержит все узлы схемы.

Рис. 2-17.

Разложение определителя по путям (по узловым парам) по существу получается из (2-21) при помощи простой группировки слагаемых и в общем случае может быть выполнено по формуле

Для иллюстрации отмеченных положений сгруппируем в определителе (2-28) все слагаемые, например, следующим образом:

Это выражение можно представить в виде

где

Такая группировка слагаемых соответствует разложению определителя по всем пяти путям между узлами 1 и 4 (рис. 2-15).

Каждому минору соответствует схема, которая получается из заданной при коротком замыкании соответствующего пути. Например,

при минор получается из уравнений для трехузловой схемы, приведенной на рис. 2-18:

Если то что соответствует схеме (рис. 2-15), в которой ветви с проводимостями закорочены (рис. 2-19).

Рис. 2-18.

Рис. 2-19.

Если путь проходит через все узлы схемы, например при , то . Аналогичный смысл имеют остальные слагаемые в определителе (2-32).

Для разложения определителя по формуле (2-30) можно выбрать и любую другую пару узлов. Например, при разложении того же определителя относительно узлов 1 и 2 имеются пути со следующими значениями: Этим путям соответствуют миноры: значения которых легко находятся из схем, получающихся при наложении соответствующих условий на заданную схему (рис. 2-15).

В качестве примера, иллюстрирующего непосредственное применение формулы (2-30), рассмотрим двойной Т-образный мост (рис. 2-20).

Рис. 2-20.

Для разложения определителя выберем, например, узлы 1 и 2 и разомкнем источник тока. Между этими узлами имеются три пути со значениями: При коротком замыкании ветвей пути со значением минор при коротком замыкании ветвей пути со значением минор и, наконец, при коротком замыкании ветвей пути со значением минор . Узловой определитель по фюрмуле (2-30)

Определитель контурных сопротивлений можно найти, например, по формуле (2-27а)

Подчеркнем, что каждое слагаемое представляет собой произведение сопротивлений ветвей, которые как бы дополняют соответствующее дерево, полученное из определителя для заданной схемы. Например, для дерева, состоящего из проводимостей соответствующее слагаемое определителя равно а для дерева и т. д. Отсюда следует, что число слагаемых в определителях одинаково.

Поскольку порядок определителя в данном примере выше порядка определителя в 2 раза (порядок каждого из определителей определяется числом независимых соответственно узловых, включая устранимые узлы, и контурных уравнений), то число элементов в каждом слагаемом узлового определителя (которые входят в виде сомножителей) в 2 раза больше, чем в каждом слагаемом . Отсюда также следует, что в данном примере число операций умножения в контурном определителе значительно меньше числа операций в определителе .