12-2. Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд

Явления, происходящие в линейных цепях при периодических, но несинусоидальных э. д. с., напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если кривую э. д. с., напряжения или тока разложить в тригонометрический ряд Эйлера — Фурье.

Как известно, всякая периодическая функция удовлетворяющая условиям Дирихле, т. е. имеющая на всяком конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд:

где

Первый член ряда называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой, второй член — основной синусоидой или первой гармоникой, а все остальные члены вида при k > 1 носят название высших гармоник; — основная частота; Т — период несинусоидальной периодической функции.

Тригонометрический ряд после раскрытия синуса суммы для каждой из гармонических составляющих или, короче, гармоник записывается и в иной форме:

Здесь

Коэффициенты могут быть вычислены при помощи следующих ннтегралов:

Постоянная составляющая равна среднему значению функции за ее период

Зная коэффициенты ряда (12-2), легко перейти к форме (12-1), подсчитывая

Вводя условно отрицательные частоты, т. е. переходя к суммированию от до , можно ряду (12-2) придать более компактный вид (где по существу каждая гармоника, кроме нулевой, входит под знак суммы дважды):

Постоянная составляющая в этом выражении получается при k — О, что соответствует выражению (12-3), так как .

Значительное число непериодических функций времени, с которыми приходится встречаться в электротехнике (рис. 12-4, а), удовлетворяет условию

Функции, удовлетворяющие этому условию, называются симметричными относительно оси абсцисс. Они раскладываются в ряд, который не содержит четных гармоник и постоянной составляющей:

При выпрямлении переменного тока или напряжения часто приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат удовлетворяют условию (рис. 12-4, б)

Такие функции называются симметричными относительно оси ординат.

Рис. 12-4.

В этом случае ряд не содержит синусов:

В схемах умножения частоты встречаются функции, которые при выборе начала координат в точке нуля функции удовлетворяют условию (рис. 12-4, в)

Такие функции называются симметричными относительно начала координат и раскладываются в ряд, не содержащий косинусов и постоянной составляющей:

Примеры разложения в ряд некоторых простейших из наиболее часто встречающихся в электротехнике кривых приведены в приложении 1.

Если начало отсчета времени сдвигается, то соответственно изменяется вид ряда, в котором амплитуды гармоник остаются прежними, но изменяются их начальные фазы Например, если перейти от функции выражаемой рядом (12-1), к , т. е. сместить начало отсчета времени на то получим ряд

    (12-10)

где

    (12-11)

Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называется ее дискретным частотным спектром

Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью Акт (спектр амплитуд) и (спектр фаз) от частоты

Пример 12-1. Построить спектр для несинусоидальной функции в виде ряда прямоугольных импульсов продолжительностью с высотой следующих один за другим через интервалы времени (рис 12-5) Напряжения такой формы встречаются в различных схемах телеграфии, телемеханики и авто матики

Решение Найдя коэффициенты разложения по формулам (12 3) или выписав их из таблицы (приложение 1), представим рассматриваемую функцию в виде ряда

Дискретный спектр амплитуд этих импульсов представлен на рис 12 5,6 Там же показан спектр фаз, изображенный в виде непрерывной функции Эта функция реально существует только в тех точках, где

Пример 12-2. Построить спектр той же кривой, что и в примере 12 1, при начале отсчета времени, сдвинутом на (рис 12 6, а)

Решение Эта функция симметрична относительно оси ординат и ее разложение в тригонометрический ряд имеет вид

Спектры амплитуд и фаз этой функции показаны на рис 12-6, б Естественно, что спектр амплитуд остался прежним

Рассматривая каждую гармонику как сумму членов ряда для и переходя от записи (12 2) к (12-2а), можно этому выражению придать следующий вид.

Действительно, при

т. е. получаем постоянную составляющую; при четных значениях k члены ряда обращаются в нуль, а при k нечетных и при суммировании членов для положительных и отрицательных k дают амплитуду, равную .

Спектр амплитуд в этом случае имеет симметричный вид (рис. 12-6, в). При этом принимается, что фазы всех гармоник равны , а амплитуды изменяют знак через интервал .

Такое рассмотрение гармонических составляющих как совокупности колебании положительных и отрицательных частот во многих случаях позволяет получить более простое общее выражение. Отрицательная частота, конечно, не имеет физического смысла, и составляющие ряда при являются не чем иным, как удобным математическим выражением гармоник, имеющих положительную частоту, соответствующую модулю k.

Рис. 12-5.

Рис. 12-6.

Так же условна замена изменения знака фазы изменением знака амплитуды.

Пример 12-3. Построить спектр последовательности прямоугольных импульсов продолжительностью с периодом повторения Т, причем может принимать любое значение в интервале

Решение. Выпишем из таблицы (приложение 1) разложение этой функции в тригонометрический ряд:

где

Раскладывая каждую из гармоник на сумму двух синусоид, соответйтвующих положительным и отрицательным значениям k [см. уравнение (12~2а)], придадим Выражению иную форму:

    (12-12)

где постоянная составляющая получается при раскрытии неопределенности:

Обозначив получим для следующее выражение;

На рис 12-7, а — в видно, что вне зависимости от периода повторения импульсов Т спектр имеет (с точностью до множителя а) одну и ту же зависимость амплитуд от частоты (огибающую) Чем больше период повторения импульсов, тем большее число гармонических составляющих укладывается на одном и том же участке огибающей и тем медленнее уменьшаются амплитуды гармонических составляющих с увеличением номера гармоники Кроме того, чем больше период Т, тем меньше амплитуды гармонических составляющих.

Рис. 12-7.

Для исследования непериодических процессов большое значение имеет предельный переход при Непериодический сигнал будет рассмотрен в гл 20.

Пример 12-4. Найти спектр последовательности очень коротких импульсов, длительность которых значительно меньше периода их повторения Т. Изучение последовательности таких импульсов очень важно в различных задачах электротехники, и, в частности, при рассмотрении импульсных и релейных систем автоматики.

Решение. Частотный спектр такой последовательности импульсов получается из выражения (12-12), приведенного в предыдущем примере, при

    (12-12а)

Таким образом, спектр периодической последовательности кратковременных импульсов приближенно может быть выражен бесконечным множеством равных по амплитуде гармоник с частотами, кратными основной частоте импульсов Амплитуда гармоник в раз меньше, чем высота импульсов. Это соответствует среднему участку спектра, представленного на рис 12-7, при стремлении периода огибающей, которая изображена на этом рисунке пунктиром, к бесконечности (когда ), если, конечно, по оси абсцисс откладывать не а просто k или