16-8. Полосные фильтры

Путем каскадного соединения низкочастотного фильтра, который пропускает токи с частотами до и высокочастотного фильтра, пропускающего токи с частотами выше причем можно получить фильтрующую систему, пропускающую токи с частотами от до

Рис. 16-24.

Рис. 16-25.

Эту же задачу выполняют специальные полосные фильтры, собираемые по Т-схеме (рис. 16-24) или П-схеме (рис. 16-25).

Продольное сопротивление и поперечная проводимость для этих Т- и П-схем

    (16-66)

Если выбрано

    (16-68)

то для частоты

    (16-69)

продольное сопротивление и поперечная проводимость равны нулю. Стало быть, в продольной ветви наступает резонанс напряжений, а в поперечной — резонанс токов. Поэтому т. е. частота принадлежит полосе пропускания этих фильтров. С учетом (16-66), (16-67) и (16-69) вычислим коэффициент

Аналогично изложенному в § 16-6 заключаем, что границы полосы пропускания полосного фильтра определяются из неравенства

Рассматривая верхний предел неравенства получаем , т. е., что принадлежит полосе пропускания. Рассматривая нижний предел неравенства, будем иметь:

Извлекая корень, находим

и

    (16-73)

или с учетом (16-69)

Решая квадратное уравнение, получаем:

    (16-74)

где

    (16-75)

Так как может быть только положительной величиной, то отсюда получаем границы полосы пропускания полосного фильтра:

    (16-76)

Перемножая почленно два последних равенства, получаем важное соотношение, связывающее граничные частоты с резонансной:

Для полосы пропускания (а — 0) из первого равенства (16-41) найдем соотношение, позволяющее определить изменение коэффициента фазы b:

Из равенства (16-77) следует, что при

При этом для b должно быть взято значение — , так как точка является концом области затухания и началом области пропускания высокочастотного фильтра, образующего вместе с низкочастотным рассматриваемый полосный фильтр. Для такой точки и далее b уменьшается по абсолютному значению, оставаясь все время отрицательным (рис. 16-26).

К тому же выводу можно прийти, построив для рассматриваемого фильтра, нагруженного на согласованное с ним чисто активное сопротивление (рис. 16-27), векторную диаграмму при какой-нибудь частоте где

    (16-78)

Переписав равенства (16-66) и (16-67) с учетом (16-69) получим, что при комплекс представляет собой емкостное сопротивление, а — индуктивное.

Рис. 16-26.

Рис. 16-27.

Поэтому 13 отстает по фазе от на угол отстает по фазе от на угол 90°, также отстает по фазе на угол 90° от Остальное построение очевидно из рис. 16-28. Таким образом, из диаграммы устанавливаем, что. при коэффициент фазы так как отстает по фазе от на угол b.

Далее при получим . И, наконец, из равенства (16-77) получим, что при При этом так как точка является началом области затухания и концом области пропускания низкочастотного фильтра, образующего вместе с высокочастотным рассматриваемый полосный фильтр.

Рис. 16-28.

Рис. 16-29.

До этой точки у низкочастотного фильтра коэффициент фазы b, возрастая от нуля, был все время положительным (рис. 16-10). К тому же выводу придем, построив для частоты со при условии векторную диаграмму (рис. 16-29), аналогичную векторной диаграмме рис. 16-28. Только нужно иметь в виду, что при сопротивление 2 — индуктивное, а — емкостное. Итак, векторная диаграмма (рис. 16-29) показывает, что при коэффициент фазы

Коэффициент, а в области затухания фильтра вычислим по формуле (16-41), где величина А определяется равенством (16-70):

Частотная характеристика а построена на рис. 16-26. Отметим, частотные характеристики а и b одинаковы для Т- и П-полосных фильтров по тем же соображениям, что и для низко- и высокочастотных.

На основании равенства (16-50) получим:

Частотная характеристика построена по выражению (16-80) на рис. 16-30.

Для полосного П-фильтра на основании выражения (16-49) будем иметь:

Частотная характеристика построена по выражению (16-81) на том же рис. 16-30. Не производя подробного анализа, отметим, что при характеристическое сопротивление — индуктивное, — емкостное, а при — наоборот. В области пропускания характеристическое сопротивление полосных Т- и П-фильтров — чисто активное.

Рис. 16-30.

Характеристические сопротивления не остаются постоянными в полосе пропускания. Поэтому, как было указано в § 16-5, согласование фильтра принципиально невозможно для всех частот полосы пропускания. Однако, как видно из кривых рис. 16-30, вблизи резонансной частоты сопротивления медленно изменяются и остаются почти постоянными и равными Поэтому если у фильтра согласованная нагрузка при частоте то это согласование распространяется и на некоторые области частот, прилегающие к ней справа и слева.

Для расчета полосного фильтра задают границы полосы пропускания и параметр причем при сопротивления

(страница пропущена)

(страница пропущена)

Как будет показано ниже, фильтры типов К и М имеют одну и ту же собственную или резонансную частоту. Поэтому у них одинаковы области пропускания, но существенно различаются частотные характеристики затухания, как показано на рис. 16-37 для низкочастотного фильтра при различных значениях . При вся индуктивность сосредоточена в продольном плече (а вся емкость — в поперечном) и вместо фильтра типа М получается фильтр типа К.

Рис. 16-35.

Рис. 16-36.

При уменьшении М частотная характеристика а в области затухания начинает расти быстрее, чем у фильтров типа К, и у нее появляется пик. Последнее объясняется тем, что сопротивление в поперечном плече (рис. 16-35, б) при его резонансной частоте обращается в нуль. Можно показать, что чем меньше М, тем сильнее смещается влево пик частотной характеристики затухания фильтра. Однако из рис. 16-37 также видно, что в полосе затухания, т. е. при значение а для фильтров типа М может стать даже меньше, чем для фильтров типа

Анализируя частотную зависимость характеристического сопротивления для низкочастотного фильтра типа М можно показать, что она для последовательного звена, созданного по Т-схеме, не зависит от М и остается такой же, как и для фильтров типа К (рис. 16-38), а для последовательного звена, собранного по П-схеме, существенно зависит от М, а именно: при уменьшении М кривая с возрастанием частоты значительно менее отклоняется от постоянной величины, равной Из кривых рис. 16-38 видно, что при и при величина отклоняется от не более чем на 5%.

Иными словами, остается почти постоянным и равным значительно большем диапазоне частот, чем для фильтра типа К.

Для параллельных звеньев низкочастотного фильтра типа М наоборот: у П-схемы не зависит от М и остается таким же, как для фильтров типа К, у Т-схемы зависит от М и с уменьшением М кривая выравнивается, т. е. остается почти постоянным и равным в большем диапазоне частот, начиная с чем для фильтров типа (рис. 16-39).

Рис. 16-37.

Рис. 16-38.

Рис. 16-39.

Более подробные исследования показывают, что характеристическое сопротивление фильтра в области пропускания (при 0,88) будет практически почти постоянным при Таким образом, при этом значении М получается наиболее

совершенное согласование фильтра с сопротивлением нагрузки (т. е. приключаемыми к нему устройствами).

Покажем на примере последовательного звена фильтра типа как определяются его продольное и поперечное сопротив-ления (рис. 16-35, б и 16-36, б) по заданным сопротивлениям фильтра типа К (рис. 16-35, а и 16-36, а) и величине М.

В соответствии с принципом построения последовательного звена и равенством (16-83)

    (16-85)

Вообще говоря, далее можно проводить исследование двумя путями. Идя первым путем из равенства характеристических сопротивлений фильтров К и М для их Т-схем можно определить и исследовать, какие получаются при этом частотные зависимости для П-образной схемы фильтра типа М.

В соответствии со сказанным преобразуем выражение (16-80) для Полагая

    (16-86)

получаем:

Аналогично запишем выражение для фильтра типа М:

    (16-88)

Приравняв

    (16-89)

и решив полученное уравнение относительно найдем:

На основании равенств (16-85) и (16-90) по заданным L и С для Т-фильтра можно найти параметры у М-фильтра:

    (16-91)

Если теперь построить частотные зависимости характеристического сопротивления при разных М для последовательного звена П-схемы с параметрами, определяемыми соотношениями (16-91), то получим кривые, приведенные на рис. 16-38.

Если же идти вторым путем и в вышеприведенном исследовании исходить из равенства характеристических сопротивлений для П-схем низкочастотных фильтров типа К и М и равенства (16-85), то для получим [сравнить с формулой (16-90)]:

Более подробное исследование частотных зависимостей характе-ристического сопротивления Т-схемы последовательного звена поквзывает, что при полученном значении коррекции (т. е. улучшения) их в указанном выше смысле с изменением величины М не происходит. Таким образом, второй путь исследования отпадает.

Диалогично производится исследование параллельных звеньев низкочастотного фильтра, а также высокочастотного, полосного и заграждающего фильтров типа М.

Ограничимся лишь приведением расчетных формул для определяя параметров параллельного звена низкочастотного фильтра М:

    (16-93)

или прямо для параметров

    (16-95)

Отметим, что полученные выше результаты позволяют рассматривать фильтр типа К как частный случай фильтра типа М при

Далее запишем, например для схемы рис. 16-35, б, значения h и

    (16-96)

Убедимся, что отношение зависит от частоты:

    (16-98)

И, наконец, убедимся также и в том, что собственная частота фильтров типа и М одна и та же и не зависит от М. Например, для схемы рис. 16-35, б, замкнув накоротко входные и выходные зажимы (см. § 16-6), при учете соотношений (16-91) найдем, что

откуда получаем:

    (16-100)

т. е. то же значение, что и для фильтра типа К (§ 16-6).

Для получения оптимальных результатов в смысле затухания и меньшей зависимости характеристических сопротивлений от частоты применяется каскадное включение фильтров типа К и М. Пусть, например, включены в каскад три звена фильтра типа М со значениями что часто и осуществляется на практике. Суммируя частотные характеристики отдельных звеньев, получаем результирующую кривую затухания

(рис. 16-40) с лучшей частотной зависимостью затухания, чем при каскадном включении трех одинаковых звеньев типа К (пунктир на рис. 16-40). Из рис. 16-40 заключаем, что кривая затухания каскадного соединения трех различных звеньев фильтра типа М растет быстрее при переходе в область затухания и обеспечивает в этой области большие значения затухания а, чем кривая затухания трехзвенного фильтра типа К. Отдельные звенья и полная схема такого фильтра приведены на рис. 16-41, а и б.

Более подробный анализ показывает что звено (или К) дает фильтру в целом значительное затухание при частотах, значительно больших резонансной. Параллельное звено при повышает крутизну кривой затухания и создает в ней пик. Два параллельных полузвена типа М при (иначе называемых Г-образными несимметричными фильтрами) также повышают крутизну кривой затухания фильтра и обеспечивают появление дополнительного пика в составе этой кривой.

Рис. 16-40.

Рис. 16-41.

Но основная цель разделения звена на два полузвена заключается в выравнивании частотной зависимости характеристического сопротивления фильтра в полосе его пропускания, т. е. в улучшении условий его согласовании с сопротивлением нагрузки.

Отметим также, что структура всех звеньев (рис. 16-41, а) такова, что уменьшается число элементов, из которых состоит каскадное соединение. В самом деле, поскольку все звенья начинаются и оканчиваются конденсаторами, то для каскадного соединения нужно только объединить емкости соответствующих поперечно включенных конденсаторов.