13-6. Короткое замыкание цепи r, С

Предположим, что конденсатор емкостью С был заряжен от источника постоянного напряжения (рис. 13-11) до напряжения а затем замыкается рубильник и конденсатор разряжается через сопротивление г.

Ветвь с сопротивлением и емкостью в дальнейшем будем называть сокращенно цепью r, С.

Исследуем возникающий переходный процесс.

Рис. 13-11.

Принужденное напряжение на емкости и принужденный ток в цепи равны нулю.

Найдем свободные составляющие тока и напряжения. Выберем положительные направления напряжения на емкости и тока совпадающими (как и при расчете установившихся режимов в цепях переменного тока). Тогда

    (13-19)

Запишем уравнение второго закона Кирхгофа для свободных составляющих:

    (13-20)

На основании выражений (13-19) и (13-20) составим однородное дифференциальное уравнение (первого порядка) для свободного напряжения:

    (13-21)

Общее решение последнего уравнения

где — начальное значение свободного напряжения на емкости.

Величина имеющая размерность времени, называется постоянной времени цепи r, С. Обратная ей величина называется коэффициентом затухания цепи r, С. Постоянная времени тем больше, чем больше емкость и сопротивление, Следовательно, чем больше емкость С и сопротивление , тем медленнее в цепи затухают свободные токи и напряжения, тем медленнее происходит разряд конденсатора.

Значение (т. е. постоянной интегрирования А) определим из начальных условий. Для любой ветви с емкостью они сводятся к тому, что напряжение на емкости в момент коммутации (т. е. при t = 0) не может измениться скачком. Поэтому при

Для напряжения на конденсаторе получим:

    (13-22)

и ток согласно (13-20)

    (13-23)

Кривые изменения и i приведены на рис. 13-12.

С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания цепи характеризуется переходом энергии, запасенной до коммутации в электрическом поле конденсатора, в тепло в сопротивлении :

Отметим, что практически ветвь с сопротивлением и емкостью всегда имеет и какую-то индуктивность, хотя бы и очень малую. Поэтому и в данном случае ток начнется с нуля (т. е. не изменится скачком), но очень быстро достигнет значения, весьма близкого к и затем будет уменьшаться практически экспоненциально (13-23).

Рис. 13-12.

Если конденсатор в цепи рис. 13-11 до включения рубильника питался от источника синусоидальной э. д. с., то будет значением напряжения на емкости в момент коммутации.

Если положительное направление тока i (рис. 13-11) выбрать противоположным положительному направлению напряжения то знаки в формулах (13-19) и (13-23) изменятся на обратные.