18-2. Уравнения однородной линии

Составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют токи и напряжения в любом сечении двухпроводной линии. Пусть известны первичные параметры однородной линии, отнесенные к единице ее длины: — сопротивление прямого и обратного проводов; — индуктивность петли, образуемой прямым и обратным проводами (или с учетом влияния земли - рабочая индуктивность петли); — проводимость (утечка) между проводами; — емкость между прогодами (или с учетом емкости проводов по отношению к земле — рабочая емкость между проводами).

Рис. 18-1.

Длинную линию можно представить в виде множества соединенных в цепочку бесконечно малых элементов длиной каждый из которых имеет сопротивление и индуктивность проводимость и емкость (рис. 18-1). Сопротивление и индуктивность будем считать включенными в один провод.

Обозначим через расстояние от начала линии до текущего элемента ее длины. Мгновенные значения напряжения и тока в начале выбранного элемента линии обозначим через , а в начале следующего — через и

Условимся называть верхний провод (рис. 18-1) двухпроводной линии прямым, а нижний — обратным. Положительные направления тока и напряжения выберем, как показано на рис. 18-1.

Для элемента линии длиной на основании законов Кирхгофа

Приводя подобные члены, пренебрегая величинами второго порядка малости и сокращая на получаем дифференциальна

уравнения:

Решение полученной системы уравнений в частных производных при определенных начальных и граничных условиях дает возможность определить ток и напряжение как функции расстояния от начала линии и времени. Эти уравнения справедливы при любых изменениях тока и напряжения во времени.