2-3. Входные и взаимные проводимости и сопротивления ветвей; коэффициенты передачи напряжений и токов

Пользуясь принципом наложения, напишем уравнение для тока в любой ветви, например h, линейной электрической цепи в виде

В этом уравнении, составленном согласно указаниям в § 2-1, ток в отличие от уравнения (1-59) обозначает ток ветви , а и т. д. - э. д. с. соответственно в первой, второй и так далее ветвях. При этом, если положительное направление для тока выбрано совпадающим с направлением то составляющие токов в той же ветви вида создаваемые э. д. с. других ветвей, могут иметь отрицательные знаки.

В уравнении (2-5) множители при э. д. с. имеют размерность проводимости. Поэтому каждый из множителей с двумя одинаковыми индексами вида называется входной проводимостью ветви Я, а величина, обратная входной проводимости, — входным сопротивлением той же ветви. Любой из множителей с двумя различными индексами называется взаимной проводимостью ветвей а величина, обратная взаимной проводимости, — взаимным сопротивлением тех же ветвей.

Численные значения входных и взаимных проводимостей и сопротивлений ветвей могут быть определены следующим путем. Приравняем в рассматриваемой схеме все э. д. с., кроме нулю. Тогда ток откуда

Следовательно, входная проводимость любой ветви определяется отношением тока к э. д. с. в этой ветви при равных нулю э. д. с. в остальных ветвях, а входное сопротивление ветви обратно входной проводимости.

Электродвижущая сила включенная в ветвь h, вызывает в общем случае токи во всех ветвях и, в частности, в ветви . Ток в ветви определяется по уравнению, аналогичному (2-5), при равных нулю, всех э. д. с., кроме , т. е.

откуда

Отметим, что как это непосредственно следует из свойства взаимности.

Рис. 2-4.

Таким образом, взаимная проводимость двух любых ветвей определяется отношением тока в одной ветви к э. д. с. в другой при равных нулю э. д. с. в остальных ветвях, а взаимное сопротивление двух ветвей обратно взаимной проводимости тех же ветвей.

Входные и взаимные проводимости и сопротивления ветвей можно рассчитать или определить экспериментально. Определение входных и взаимных проводимостей и сопротивлений ветвей расчетом покажем на примере схемы рис. 2-4, а.

Приравняем нулю (рис. 2-4, б). Тогда токи в ветвях

где

Из выражений (2-8) определим:

Аналогично рассчитываются входные и взаимные проводимости и сопротивления второй и третьей ветвей:

Из полученных выражений следует, что для схемы рис. 2-4 входные и взаимные проводимости ветвей связаны между собой соотношениями

Если взаимные проводимости найдены, то легко определить токи во всех ветвях при любых значениях э. д. с. Так, для схемы

рис. 2-4, а

Часто взаимные проводимости считают алгебраическими величинами. В этом случае в уравнениях, записанных по принципу наложения, отрицательные знаки получаются у тех слагаемых, для которых взаимные проводимости имеют отрицательный знак.

В общем случае входная проводимость некоторой ветви равна сумме взаимных проводимостей данной ветви и каждой из остальных ветвей, присоединенных к одному из двух узлов, к которым присоединена эта ветвь.

Рис. 2-5.

Рис. 2-6.

Например, входная проводимость первой ветви (рис. 2-5) равняется сумме проводимостей или т. е.

Эти соотношения непосредственно следуют из первого закона Кирхгофа и свойства взаимности и могут быть применены для расчета электрических цепей.

Например, для определения токов (рис. 2-5) достаточно знать взаимные проводимости так как

Знаки у составляющих каждого из токов учитываются по принципу наложения.

Экспериментальное определение входных и взаимных проводимостей и сопротивлений рассмотрим на примере произвольной цепи, из которой предварительно исключены все источники э. д. с. и источники тока (рис. 2-6). Три ветви этой цепи выделены, а остальная часть условно показана в виде прямоугольника. В каждую ветвь включен амперметр. Чтобы определить входную проводимость первой ветви и взаимные проводимости второй и первой и третьей и первой ветвей, надо включить в первую ветвь источник

э. д. с. Е. Измерив вольтметром напряжение на зажимах источника э. д. с. и амперметрами токи в трех ветвях, нетрудно вычислить входную и взаимные проводимости и сопротивления ветвей по формулам

Аналогично определяются входные и взаимные проводимости и сопротивления других ветвей

Пример 2-2. Определить входные и взаимные проводимости ветвей схемы рис 2 7, а, если Ом, Ом

Решение Для определения входной проводимости и взаимных проводимостей между первой и остальными ветвями положим равными нулю (рис 2 7, б) Затем можно задаться э. д. с. и найти все токи Однако для данной схемы проще задать ток в ветви с сопротивлением или например , и найти необходимую и токи в остальных ветвях

Рис. 2-7

Так как сопротивление Напряжение на зажимах сопротивления

ток , ток , при действии которой ток , а остальные токи равны найденным значениям,

Входная проводимость первой ветви равна отношению тока к э. д. с.

Взаимные проводимости между первой и остальными ветвями

Аналогично определяются входные и взаимные проводимости остальных ветвей

Пример 2-3 В условиях предыдущей задачи (пример 2 2) определить токи во всех ветвях, если .

Решение Зная входные и взаимные проводимости ветвей, легко определить в них токи, пользуясь принципом наложения

и т. д.

Входные и взаимные проводимости и сопротивления ветвей в общем случае для более сложных схем целесообразно представить в виде отношений узловых или контурных определителей и их соответствующих алгебраических дополнений.

Для мостовой схемы (рис. 1-22, а) взаимные проводимости между ветвями, например с проводимостями определяются при помощи выражений (2-7) и (1-39) соответственно по формулам

где получается, как отмечено выше, из (1-38) путем вычеркивания первой строки и первого столбца, находится из того же определителя (1-38) вычеркиванием первой строки и второго столбца и умножением полученного выражения на

Важными параметрами, характеризующими режим электрической цепи, являются коэффициенты передачи напряжения и тока. Эти параметры чаще всего применяются для характеристики цепей с одним источником э. д. с. или с одним источником тока при передаче сигналов. Коэффициент передачи напряжения определяется отношением напряжения на зажимах приемника к напряжению источника э. д. с., действующего в цепи; коэффициент передачи тока определяется отношением тока в приемнике к току источника тока в цепи. Эти величины также могут быть выражены через узловые или контурные определители и их соответствующие алгебраические дополнения.

Например, для схемы рис. 1-23, а, пользуясь уравнениями (1-42), легко определим напряжение по формуле

где алгебраическое дополнение получается из (1-43) путем вычеркивания четвертой строки и второго столбца.

Коэффициент передачи напряжения

Если в схеме рис. 1-22, а источник э. д. с. заменить эквивалентным источником тока (рис. 1-22, б), то, пользуясь этой эквивалентной схемой и уравнением (2-10), можно определить коэффициент передачи тока во вторую ветвь по формуле