Глава восьмая. МНОГОПОЛЮСНИКИ И ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ

8-1. Четырехполюсники и их основные уравнения

Исследование режима работы сложной электрической цепи часто сводится к установлению связи между токами, напряжениями и мощностями различных ее участков или ветвей. При этом режим остальной части цепи может оставаться неизвестным, хотя все ее параметры учитываются при решении задачи.

Рис. 8-1

Рис. 8-2

Рис. 8-3

В таких условиях рассматриваемая цепь может определяться обобщенными параметрами на соответствующих зажимах, относительно которых параметры заданы или должны быть найдены.

Часть цепи, которая характеризуется обобщенными параметрами, необходимыми и достаточными для составления уравнений связи между токами и потенциалами на ее зажимах, называется многополюсником. Число полюсов многополюсника равно числу зажимов на границе данной части цепи. Многополюсники часто условно изображаются в виде прямоугольников с соответствующим числом зажимов-полюсов. Так, на рис. 8-1 показано условное изображение пассивного двухполюсника, на рис. 8-2 изображен трехполюсник, а на рис. 8-3 — четырехполюсник.

Практически при исследовании электрических цепей чаще приходится пользоваться двухполюсниками, трехполюсниками и четырехполюсниками

с фиксированными зажимами для присоединения источников электрической энергии и приемников. Четырехполюсники, не содержащие в своих ветвях источников энергии, называются пассивными, к числу которых относятся, например, линии передачи электрической энергии и трансформаторы. Четырехполюсники, содержащие в своих ветвях источники энергии, называются активными.

Для изучения теории и методов расчета режимов пассивных четырехполюсников рассмотрим схему с двумя источниками энергии.

Выделим две ветви с источниками (рис. 8-4). Тогда остальную часть схемы можно рассматривать как пассивный четырехполюсник с первичными — входными зажимами и вторичными — выходными зажимами при этом внутренние сопротивления источников энергии отнесены внутрь четырехполюсника. Положительные направления токов в этих ветвях и напряжений на их зажимах выбраны в соответствии с направлениями э. д. с. (рис. 8-4).

Рис. 8-4.

Пользуясь методом контурных токов (при выбранных положительных направлениях токов и напряжений ), напишем следующие уравнения:

где при (питание четырехполюсника со стороны первичных зажимов и разомкнутые вторичные); при (питание четырехполюсника со стороны вторичных зажимов и разомкнутые первичные).

Форма записи уравнений (8-1) называется формой Z. Эти уравнения можно записать и в матричной форме:

Если из уравнений (8-1) выразить токи Д и А через напряжения то получаются следующие уравнения:

где

Уравнения (8-2) могут быть получены и непосредственно из схемы рис. 8-4 методом узловых потенциалов. Форма записи уравнений (8-2) называется формой Y; эти уравнения можно записать также в матричной форме:

Для анализа четырехполюсника с транзисторами (см. гл. 9) часто применяются уравнения с так называемыми смешанными (гибридными) параметрами, в которых независимыми переменными являются напряжение и ток , а зависимыми — напряжение и ток . Эти уравнения легко получаются из (8-1) в следующем виде:

где

Аналогично (8-1а) и (8-2а) уравнения (8-3), которые называются формой Н, можно записать в матричной форме:

Для исследования режимов четырехполюсников при их каскадном соединении целесообразно иметь такую форму уравнений, в которой напряжение и ток выражены через напряжение и ток . С этой целью по теореме о компенсации заменим падением напряжения в сопротивлении от тока , направленного навстречу (рис. 8-5). Эту схему сможно рассматривать и как четырехполюсник с источником э. д. с. на входных зажимах и сопротивлением нагрузки на выходных.

Рис. 8-5.

В связи с изменением положительного направления тока (рис. 8-5) в уравнениях (8-2) для этой схемы изменится знак перед током :

В результате совместного решения уравнений (8-5) относительно получим:

где — безразмерная величина;

имеет размерность сопротивления;

имеет размерность проводимости;

— безразмерная величина.

Форма записи уравнений (8-6) называется формой А.

Коэффициенты четырехполюсника А, В, С и D связаны между собой соотношением

Поскольку для взаимных цепей , то, рассматривая далее четырехполюсники, для которых выполняется принцип взаимности (взаимные), получим:

Подчеркнем, что комплексные коэффициенты четырехполюсника А, В, С и D, как и другие коэффициенты и параметры зависят от сопротивлений, проводимостей, конфигурации схемы и от частоты э. д. с. или тока источника.

Уравнения (8-6) можно записать в матричной форме:

Рис. 8-6.

Если у четырехполюсника рис. 8-5 присоединить источник к вторичным зажимам, а к зажимам присоединить сопротивление нагрузки (рис. 8-6) и изменить положительные направления токов (по сравнению с рис. 8-5) на обратные, то уравнения (8-6) примут вид:

Из этих уравнений с учетом (8-7) получим:

Сравнивая эти уравнения с (8-6), легко заметить, что при обратном питании коэффициенты А и D меняются местами.

Четырехполюсник называется симметричным, если при перемене местами источника питания и приемника токи источника энергии и приемника не изменяются. Уравнения симметричного четырехполюсника должны остаться неизменными при взаимной замене первичных и вторичных зажимов. Поэтому и разметка первичных и вторичных зажимов для симметричного четырехполюсника необязательна. Все четырехполюсники, не удовлетворяющие этому условию, называются несимметричными.