12-10. Высшие гармоники в трехфазных цепях

В трехфазных цепях кривые напряжения во второй и третьей фазах со сдвигом на треть периода обычно в точности воспроизводят форму кривой напряжения в первой фазе. Так, например, если напряжение в фазе А может быть представлено некоторой функцией времени

то

где Т — период основной частоты.

Рассмотрим гармонику порядка k функции во всех трех фазах. Пусть

Тогда, учитывая, что и подставляя вместо t соответственно и получаем:

Сравнивая полученные выражения для различных значений k, можно заметить, что напряжения гармоник порядка, кратного трем где n — любое целое число, во всех фазах в любой момент времени имеют одно и то же значение и направление При гармоники трех фаз образуют симметричную систему напряжений, последовательность которой совпадает с последовательностью фаз первой гармоники. При гармоники образуют симметричную систему напряжений с последовательностью, обратной основной.

Таким образом, гармоники порядка 1, 4, 7, 10, 13 и т. д. образуют системы напряжений прямой последовательности, гармоники 2, 5, 8, 11, 14 и т. д. образуют системы напряжений обратной последовательности. Наконец, гармоники 3, 6, 9, 12 и т. д. образуют системы напряжений нулевой последовательности. При наличии постоянной составляющей в напряжении каждой из фаз она может рассматриваться как нулевая гармоника порядка, кратного трем т. е. образующая нулевую последовательность.

В большинстве практически важных случаев в напряжениях отсутствуют как постоянная составляющая, так и все четные гармоники, поэтому в дальнейшем ограничимся исследованием только нечетных гармоник.

Рассмотрим различные схемы соединения трехфазных цепей.

Если фазы генератора соединены в звезду, то при несинусоидальиом фазном напряжении линейные напряжения, равные разностям напряжений двух смежных фаз, не содержат гармоник напряжений порядка, кратного трем, так как последние образуют системы нулевой последовательности

Отсутствие гармоник порядка, кратного трем, в линейных напряжениях приводит к тому, что при несинусоидальных напряжениях отношение линейного напряжения к фазному меньше УЗ. Действительно, фазное напряжение

а линейное напряжение

Отсюда следует, что

    (12-48)

При симметричной нагрузке фазные токи основной частоты и все высшие гармоники, за исключением высших гармоник порядка, кратного трем, образуют системы прямой и обратной последовательностей и дают в сумме нуль. Гармоники же порядка, кратного трем, образуют систему нулевой последовательности, т. е. имеют в любой момент времени одинаковые значения и направления. Поэтому ток в нейтральном проводе равен утроенной сумме токов высших гармоник нулевой последовательности:

    (12-49)

Рис. 12-21.

При отсутствии нейтрального провода токи в каждой из фаз не могут содержать высших гармоник порядка, кратного трем, так как в этой схеме сумма токов в любой момент времени должна равняться нулю, что невозможно при наличии высших гармоник порядка, кратного трем. Поэтому в приемнике нет напряжений от токов нулевой последовательности и между нейтральными точками генератора и симметричного приемника может появиться значительное напряжение, содержащее только гармоники, кратные трем.

Если фазы генератора соединены треугольником, то при несинусоидальных э. д с. в фазах сумма э. д с., действующих в замкнутом контуре генератора, не равна нулю, как при синусоидальных э. д. с., а равна тройной сумме высших гармоник порядка, кратного трем. Если включить вольтметр в рассечку треугольника (рис. 12-21), то вольтметр измерит гармоники э. д. с. порядка, кратного трем, так как остальные в сумме дадут нуль:

    (12-50)

Открытый треугольник с э. д. с., содержащими высшие гармоники, применяется как утроитель частоты (см. гл. 24).

Если фазы соединены в замкнутый треугольник, то э. д. с. гармоник порядка, кратного трем, вызывают внутренний ток в генераторе. Этот ток протекает в замкнутом треугольнике генератора

даже и тогда, когда внешняя цепь генератора разомкнута. Составляющая фазной э. д. с., содержащая гармоники порядка, кратного трем, однако, не выявляется между зажимами фаз, так как она компенсируется падением напряжения на внутреннем сопротивлении фазы генератора. Фазное напряжение, равное в данном случае линейному,

    (12-51)

Поэтому во внешней цепи, подключенной к генератору, обмотки которого соединены треугольником, токи не содержат гармоник порядка, кратного трем.

Фазный ток генератора при симметричной нагрузке

а линейный ток во внешней цепи

    (12-52)

Пример 12-12. Найти показания приборов при разомкнутом и замкнутом рубильнике Р в трехфазной цепи (рис. 12-22, а), имеющей соединенную в звезду трехфазную систему источников (вторичные обмотки трехфазного трансформатора) с фазными э. д. с., В:

Сопротивление источника для первой гармоники

Рис. 12-22.

Приемником служит трехфазная система конденсаторов, соединенных в звёзду. Для первой гармоники

Решение Найдем показания приборов (индексы токов и напряжений соответствуют обозначениям приборов в схеме)

Для случая звезды без нейтрального провода (рубильник Р разомкнут)

Для случая звезды с нейтральным проводом (рубильник Р замкнут)

Близость к резонансу на третьей гармонике привела к очень большому значению тока третьей гармоники в нейтрали В этом случае оказалось, что линейное напряжение, которое не содержит третьей гармоники, меньше фазного, так как вследствие резонанса напряжений третья гармоника фазного напряжения больше основной

Пример 12-13. Найти показания приборов при тех же фазных э. д с. и сопротивлениях, что и в примере 12-12, но при соединении источника и приемника треугольником (рис 12-22, б)

Решение. В этом случае третья гармоника замыкается в контуре генератора и

Так как остальные составляющие те же, что и в примере 12-12, то ;

Таким образом, третья гармоника влияет только на внутренние токи источника и не сказывается на распределении токов и напряжений приемника.