18-3. Установившийся режим в однородной линии

Рассмотрим установившийся режим в длинной линии при синусоидальном напряжении источника питания. Переписывая уравнения для установившегося режима и вводя комплексные напряжения, токи, сопротивления и проводимости, получаем:

где — комплексное сопротивление;

— комплексная проводимость единицы длины линии.

Подчеркнем, что не являются величинами, обратными друг другу.

Продифференцируем уравнения (18-3) и (18-4):

и заменим согласно (18-4) и (18-3). Тогда получим:

Дифференциальные уравнения (18-5) и (18-6), определяющие изменения комплексных напряжения и тока вдоль линии, одинаковы. Поэтому достаточно найти, например, закон изменения напряжения О, а ток можно получить из уравнения (18-3).

Решение уравнения (18-5) — линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами — имеет вид:

где

— комплексные постоянные интегрирования.

Ток согласно уравнению (18-3)

Знаменатель формулы (18-9), имеющий размерность сопротивления, называют волновым сопротивлением линии ZB. Для однородной линии, рассматриваемой как четырехполюсник, волновое сопротивление совпадает с характеристическим т. е.

где

Подставляя в формулу (18-9), запишем ее в виде

    (18-12)

Выражая комплексы имеющие размерность напряжения, в показательной форме

запишем мгновенные значения напряжения и тока:

    (18-14)

Каждое из слагаемых правой части двух последних выражений можно рассматривать как бегущую волну, движущуюся в направлении возрастания или убывания координаты и затухающую в направлении движения.

В самом деле, каждое из слагаемых в любой фиксированной точке представляет собой периодическую функцию времени.

В любой же фиксированный момент времени каждое из слагаемых изменяется вдоль линии (т. е. с изменением ) по закону затухающей синусоиды.

Основными характеристиками бегущей волны являются фазовая скорость и длина волны.

Фазовой скоростью волны v называется скорость перемещения фазы колебания, которая в течение времени t и по мере увеличения расстояния пройденного волной, остается постоянной, т. е.

Тогда

и

    (18-15)

Аналогичное исследование второго слагаемого правой части равенства (18-13) дало бы для фазовой скорости такое же значение, но с обратным знаком. Отсюда заключаем, что эти слагаемые могут рассматриваться как волны, движущиеся в противоположных направлениях.

Длиной волны Я, называется расстояние между ближайшими двумя точками, взятое в направлении распространения волны, фазы колебания в которых различаются на Следовательно, для первого слагаемого равенства (18-13) получим:

откуда

    (18-16)

и

т. е. за время, равное периоду, волна пробегает расстояние, равное длине волны.

Затухающая синусоидальная волна представлена на рис. 18-2. Для ее изображения сначала строят огибающие Затухающая волна вписывается в область, ограниченную огибающими.

Рис. 18-2.

Условимся волну, движущуюся от начала линии (рис. 18-2), называть прямой, а движущуюся от конца линии — обратной.

Выберем теперь положительные направления напряжений и токов прямой и обратной волн.

Так как оба слагаемых в правой части равенства (18-7), определяющие напряжение О, входят с положительными знаками, то вполне естественно выбрать положительные направления напряжений прямой и обратной волн совпадающими с положительным направлением напряжения О, т. е. от прямого провода линии к обратному (рис. 18-1).

Для тока существуют две возможности. Можно оставить оба слагаемых в правой части равенства (18-12) с различными знаками

или же поставить между слагаемыми знак плюс, а минус включить в состав второго слагаемого. Будем определять ток 1 как разность токов прямой и обратной волн, т. е. положительное направление тока прямой волны выберем совпадающим с положительным направлением тока (рис. 18-1), а положительное направление тока обратной волны — противоположным положительному направлению тока

В соответствии с этим можно записать:

    (18-17)

где

    (18-18)

Из формул (18-18) вытекает, что токи и напряжения как прямой, так и обратной волн связаны между собой законом Ома:

    (18-19)

Введенные понятия о прямых и обратных волнах в линиях при установившемся синусоидальном режиме облегчают представление и анализ процессов.

Рис. 18-3.

Однако нужно иметь в виду, что физически существуют в линии только результирующие ток и напряжение U и что разложение их на прямые и обратные волны следует считать лишь удобным приемом.

Построим теперь векторную диаграмму распределения напряжения и тока прямой и обратной волн вдоль линии, т. е. их годографы.

На основании первого равенства (18-18) заключаем, что если отложить вектор на комплексной плоскости (рис. 18-3) и затем поворачивать его по направлению движения стрелки часов, одновременно

временно умножая на то концы векторов напряжений прямой волны расположатся на свертывающейся логарифмической спирали. На расстоянии, равном длине волны К аргумент изменяется на На рис. 18-3 нанесены еще 12 векторов напряжений для точек, расположенных на расстояниях На расстоянии от начала линии, равном длине волны (точка 12 на рис. 18-3), напряжение (ток) совпадает по фазе с напряжением (током) в начале линии (точка 0), но амплитуда уменьшается в раз.

Влияние затухания наглядно иллюстрируется сравнением с линией без потерь (см. § 18-11), у которой длина векторов напряжения одинакова и их концы описывают окружность. По расстоянию точек спирали до точек этой окружности можно судить о величине затухания.

На рис. 18-3 справа построена кривая распределения мгновенных значений напряжения прямой волны вдоль линии для фиксированного момента времени Ординаты этой кривой получены вращением с угловой скоростью вектора длина которого определяется логарифмической спиралью, и проектированием его на ось ординат, т. е. выполнением операции, известной из теории переменных токов.

Аналогично из третьего равенства (18-18) следует, что если отложить вектор на комплексной плоскости (рис. 18-3) и затем поворачивать его против направления движения стрелки часов, одновременно умножая на то концы векторов напряжений обратной волны расположатся на развертывающейся логарифмической спирали. Вращая вектор и проектируя его концы на ось ординат, получим (рис. 18-3) кривую распределения мгновенных значений напряжения обратной волны вдоль линии.

Совершенно так же строятся годографы и кривые распределения мгновенных значений токов прямой и обратной волн. Чтобы изобразить распределение мгновенных значений тока i и напряжения и вдоль линии, необходимо согласно равенствам (18-17) построить сумму мгновенных значений напряжений (рис. 18-3) и разность мгновенных значений токов прямой и обратной волн.

Кривые распределения мгновенных значений напряжений и токов также имеют волнообразный характер. Они показывают, что в каждый данный момент времени как результирующие токи и напряжения, так и токи и напряжения прямой и обратной волн в различных точках линии могут отличаться не только по величине, но и по знаку.

Отметим, наконец, что все полученные результаты применимы и к трехфазным симметричным или несимметричным, но транспонированным линиям. В этом случае напряжение О и ток — это фазное напряжение и ток, а параметры должны быть отнесены к одной фазе.

Пример 18-1. Трехфазная линия передачи электроэнергии Куйбышев — Москва длиной км в начальном периоде ее эксплуатации работала при напряжении и частоте Согласно одному из вариантов

проекта первичные параметры линии имеют следующие значения: потери в изоляции и на корону составляют на одну фазу.

Определить характеристики линии называемые ее вторичным параметрами, а также длину волны Я и фазовую скорость v. и

Решение. Из формулы

найдем:

Комплексные сопротивление и проводимость на 1 км:

Характеристики линии: