14-3. Эквивалентные операторные схемы

При расчете переходного процесса операторным методом полезно оставить для заданной цепи эквивалентную операторную схему, чтобы показать, как составтяется зквивалентная операторная схема в достаточно общем случае при ненутевых начальных условиях

виях, запишем для схемы (рис. 14-3) уравнения Кирхгофа в опера торной форме, опуская для кратности аргумент у изображений

Переписав их в виде

составим по ним эквивалентную операторную схему, представленную на рис. 14-4

Рис. 14-3

Рис. 14-4.

Из рисунка ясно, что, вводя операторные реактивные сопротивления заменив заданные э. д. с. их изображениями и включив в каждую ветвь с индуктивностью и емкостью дополнительные внутренние причем положительные на правления этих дополнительных внутренних э. д. с. принято совпадающими с положительным направлением тока в данной ветви, получим уравнения Кирхгофа для изображении, аналогичные уравнениям цепи гармонического тока. Атак как метод расчета цепей выводятся из уравнений Кирхгофа, то для расчета

изображений какого-либо тока или напряжения в схеме (рис. 14-4) можно пользоваться методами контурных токов, узловых потенциалов, активного двухполюсника, преобразований и т. д. Таким образом, операторный метод позволяет использовать для определения изображений токов и напряжений весь аппарат вычислении, применяемый для расчета установившихся токов и напряжений

Составим теперь характеристическое уравнение, например, приравнивая нулю числитель входного сопротивления для источника э. д. с., включенного в первую ветвь (рис. 14-3):

Такая возможность вытекает из теоремы разложения, когда для получения характеристического уравнения приравниваем нулю знаменатель изображения

В общем случае оно будет четвертой степени Однако, если параметры какой либо пары параллельных ветвей, например второй и третьей, удовлетворяют соотношению

то характеристическое уравнение будет только второй степени

В самом деле, выражая из последнего уравнения через сопротивления и поставляя их значения в выражение после преобразований получаем

Таким образом, возможность преобразовывать операторные сопротивления, так же как и комплексные, позволяет очень просто установить случаи, когда из-за пропорциональности параметров ветвей и степень характеристического уравнения понижаем Сказанное относится также к параллельным ветвям и параллельным ветвям , если их параметры соответственно пропорциональны.

Пример 14-1. Наши ток в индуктивности (рис 14-5) после включения рубильника, если дано

Рис. 14-5.

Решение. Составим уравнения для изображений по методу контурных токов.

где

Решив эти уравнения, найдем

где

Отсюда

Оригинал первого слагаемого равен 5. Корни знаменателя второго слагаемого . Так как корни кратные, то теорема разложения в виде (14-10) неприменима Представив второе слагаемое а виде

найдем его оригинал по таблице (приложение 2):

Оригинал того же слагаемого можно найти и по формуле (14-12):

для окончательно получаем:

В частности, при как и должно быть .

Пример 14-2. Определить напряжение на индуктивности (рис 14-6, а) после включения рубильника, если .

Рис. 14-6.

Решение. Изображение тока найдем по методу активного двухполюс ника Составим для цепи (рис. 14-6, а) эквивалентную операторную схему (рис 14-6, б) и определим расчетные э. д. с. Из расчета режима до коммутации найдем:

и, следовательно,

По методу активного двухполюсника

где

Найдем далее напряжение при отключенной ветви с индуктивностью

Напряжение на рубильнике

Ток в вегви с индуктивностью

Поскольку в момент коммутации в индуктивности был ток, изображение напряжения на индуктивности представится разностью изображений потенциалов точек

Находим корни характеристического уравнения

Далее находим:

Аналогично находим

Применяя теорему разложения (14-10), учитывая, что в теореме разложения слагаемое от корня сопряженного получается сопряженным слагаемому от корня сумму обоих слагаемых найдем сразу как удвоенную вещественную часть слагаемого от корня

Пример 14-3. Найти напряжение на конденсаторе после включения рубильника (рис. 14-7, а).

Решение Представим заданную гармоническую э. д. с. комплексной величиной и составим эквивалентную операторную схему (рис. 14-7, б). Обозначим

и найдем напряжение на конденсаторе до коммутации

где

Следовательно,

Найдем по методу двух узлов комплексное изображение напряжения

Зная его, находим комплексное изображение тока

Рис. 14-7

Далее, поскольку конденсатор в момент коммутации был заряжен, найдем комплексное изображение напряжения на конденсаторе как разность комплексных операторных потенциалов в эквивалентной операторной схеме (рис 14-7, б)

Подставляя значение в формулу для I, а значение I в формулу для после ряда алгебраических преобразований получаем

Применив теорему разложения (14-10), найдем комплексный оригинал искомого напряжения на конденсаторе:

С учетом приведенного выше значения найдем напряжение и

где

В частности, при получаем для приведенный выше результат.