7-3. Круговые диаграммы для любой разветвленной цепи

Если в разветвленной цепи сопротивление одной из ветвей, например сопротивление второй ветви, изменяется, а все остальные сопротивления и э. д. с. (токи) источников энергии неизменны, то, как было показано в § 2-7, токи и напряжения любых ветвей связаны линейными зависимостями. Это справедливо и для цепей синусоидального тока, если неизменны амплитуды э. д. с. В частности, для тока в первой ветви и тока во второй справедливо соотношение

где А и В — комплексные числа.

На рис. 7-8 показана разветвленная цепь, в которой выделены источник напряжения в первой ветви и одно из сопротивлений входящее в состав второй ветви. Остальная часть цепи, которая может содержать источники питания (активная цепь) показана в виде прямоугольника А.

Пусть (модуль сопротивления ) изменяется, а аргумент остается неизменным; тогда, рассматривая всю цепь относительно сопротивления как активный двухполюсник, придем к заключению, что конец вектора Д перемещается по дуге окружности. Покажем, что в этом случае диаграммой тока Д также является дуга окружности.

Рис. 7-8.

Пусть дуга (рис. 7-9) представляет круговую диаграмму тока . Умножение на приводит к изменению длины вектора в b раз и к повороту его на угол . Поэтому диаграмма вектора ВД представляется дугой окружности ОК, проходящей через точку О, повернутой относительно дуги на угол Р и имеющей радиус, в b раз больший радиуса дуги Перенеся дугу ОК параллельно вектору А на отрезок, равный длине вектора А, получим дугу Конец вектора , как это следует из построения, находится на дуге окружности т. е. дуга — круговая диаграмма тока .

Рис. 7-9.

Итак, если в какой-либо ветви разветвленной цепи изменяется только модуль одного из сопротивлений и остаются неизменными амплитуды э. с. (токов) всех источников питания, то конец вектора тока любой из ветвей описывает круговую диаграмму. Так как напряжения и токи любых ветвей связаны линейными зависимостями, то и для всех изменяющихся напряжений получаются круговые диаграммы.

Чтобы определить комплексы А и В линейного соотношения (7-6), нужно знать токи для каких-либо двух режимов, при двух различных значениях например при

При (т. е. при разомкнутой ветви . Пусть при этом тогда из написанного соотношения имеем: , откуда т. е. коэффициент А равен току в ветви 1 при разомкнутой ветви . Пусть при (т. е. при коротком замыкании ветви тогда, подставляя

эти значения в (7-6), получаем:

откуда

и, следовательно,

Обозначим через напряжение на зажимах ветви 2, когда она разомкнута, и через — входное сопротивление всей остальной цепи, рассматриваемой как активный двухполюсник относительно зажимов ветви 2. Тогда по теореме об активном двухполюснике

где

Рис. 7-10.

Подставляя (7-8) в (7-7), получаем:

Второе слагаемое имеет такой же вид, как выражение (7-3), и, следовательно, графически может быть представлено круговой диаграммой с хордой

Для построения круговой диаграммы тока нужно предварительно определить

Построение круговой диаграммы выполняем в следующем порядке:

1) выбираем масштаб и откладываем вектор Ох (рис.7-10);

2) выбираем масштаб и откладываем векторы (отрезок ) и (отрезок ). Построение круговой диаграммы приводится для случая, когда

3) соединяем точки и К, получаем хорду

4) выбираем масштаб и откладываем на хорде отрезок

5) проводим прямую изменяющегося параметра AN под углом — к хорде рассматриваемой как отрезок, имеющий направление от точки О, к точке К (построение круговой граммы приведено для случая, когда угол и поэтому

на рис. 7-10 этот угол отложен относительно против направления движения часовой стрелки);

6) проводим прямую

7) на пересечении перпендикуляра к середине хорды с линией находим центр С круговой диаграммы.

Для любого значения можно отложить отрезок и на пересечении линии с круговой диаграммой в точке М найти положение конца вектора тока .

Из сказанного выше следует, что дуга рассматриваемая относительно точки представляет пропорционально измененную и повернутую на некоторый угол круговую диаграмму активного двухполюсника. Под активным двухполюсником здесь подразумевается вся цепь, представленная на рис. 7-8, за исключением сопротивления . Поэтому ток напряжение мощности определяются теми же отрезками прямых, которые служили для этой цели в круговой диаграмме двухполюсника. Ток определяется отрезком напряжение — отрезком МК, а мощности — отрезком МН, или, что удобнее, пропорциональным ему отрезком

Рис. 7-11.

Для определения масштабов нужно вычислить значения этих величин для каких-либо частных режимов и затем разделить эти значения на длины соответствующих им отрезков диаграммы. Например, вычислим . На диаграмме току и напряжению соответствует хорда Следовательно, масштаб и масштаб

Пример 7-2. В цепи, показанной на рис. Ом; изменяется от 0 до Построить круговую диаграмму для тока и определить по ней значения в двух режимах, когда

Когда

Решение. Находим величины, необходимые для построения круговой Диаграммы и для определения масштабов:

Выбираем масштаб и откладываем векторы (рис. 7-12). Обратим внимание, что на рис. 7-12 система координатных осей повернута на 90° против Часовой стрелки по сравнению с ее обычным расположением. Ось положительных Вещественных величин направлена вверх, а ось положительных мнимых — влево. Такое расположение осей применяют часто, желая направить вектор напряжения или э. д. с. вертикально при нулевой начальной фазе. Заметим, что такое расположение вектора напряжения было и на рис. 7-4 и 7-10 На рис. 7-12 вектор э. д. с. не изображен, поскольку он не нужен для решения задачи.

Проводим хорду Выбираем масштаб и откладываем отрезок Из точки А под углом проводим линию изменяющегося параметра AN. Опускаем перпендикуляр на линию AN и восстанавливаем перпендикуляр к середине хорды Получаем точку С — центр круговой диаграммы.

Ток измеряется отрезком ОМ, ток — отрезком напряжение — отрезком КМ, сопротивление — отрезком AN. Масштабы были выбраны, масштабы В/см. Ток когда отрезок имеет наибольшую длину, т. е. когда точка М занимает положение Напряжение кетда отрезок КМ имеет наибольшую длину, т. е. когда точка М занимает положение совпадающее с точкой О

Рис. 7-12.

Рис. 7-13.

Значения переменных величин, соответствующих точке обозначим одним штрихом, а точке — двумя штрихами.

В проведенном подсчете учтены следующие соотношения между длинами отрезков, очевидные из рассмотрения диаграммы

Ток

Точка соответствует резонансу токов . Так как рассматривается теоретический случай, когда в ветвях 2 и 3 нет активного сопротивления, то

Пример 7-3. Для той же цепи (рис 7-11) построить при изменении круговую диаграмму для тока и отметить на ней точки соответствующие Найти для этих режимов значения тока

Решение При имеем Все остальные параметры, необходимые для построения круговой диаграммы для вычислены в предыдущем примере

Выбрав масштаб откладываем вектор (рис 7-13) Так как , то конец вектора — точка К совпадает с точкой О Выбрав масштаб откладываем отрезок Из точки А под углом проводим линию переменного параметра AN Затем определяем центр С окружности и строим круговую диаграмму Отрезками ОМ, и AN измеряются соответственно Масштабы были выбраны, масштабы Ток точке Напряжение в точке М, Из диаграммы находим