14-4. Переходные процессы в цепях с взаимной индуктивностью

Рассмотрим переходные процессы в цепи (рис. 14-8), у которой две катушки с сопротивлениями и индуктивностями связаны взаимной индуктивностью М, причем вторая катушка замкнута накоротко, а первая включается на постоянное напряжение

Токи в обеих катушках связаны уравнениями Кирхгофа

    (14-26)

Рис. 14-8.

Отметим, принципиально важное обстоятельство, что учет взаимной индуктивности между катушками не повышает порядка дифференциальных уравнений. Перепишем уравнения (14-26) и (14-27) для изображений

Решая их, находим:

где — постоянные времени каждой из катушек, когда другая разомкнута;

— коэффициент связи.

Решая характеристическое уравнение системы

находим его корни:

Применив к выражению для тока теорему разложения в вице (14-11), а к выражению для тока — в виде (14-10), найдем после некоторых преобразований с учетом равенств

оригиналы токов

Для лучшего уяснения процесса рассмотрим простейший случай, когда обе катушки одинаковы:

Тогда постоянные времени каждой из катушек в отдельности равны между собой:

Коэффициенты затухания также упростятся:

и токи катушек

На рис. 14-9 построены кривые изменения токов и Одна из свободных составляющих токов затухает медленно, т. е. имеет большую постоянную времени, определяемую суммой индуктивности L и взаимной индуктивности М, а вторая затихает быстро, так как ее постоянная времени определяется разностью L и М. Для сравнения на рис. 14-9 показано, как изменялся бы ток первой катушки при ее включении, если бы вторая была разомкнута (пунктир-ная кривая). В первые моменты после включения ток первой катушки увеличивается быстрее, чем он возрастал бы при разомкнутой второй катушке. В этом можно убедиться, подсчитав начальные значения производных в обоих случаях. При замкнутой вторичной

катушке из первого выражения (14-28) получим

а при разомкнутой вторичной катушке (см. § 13-4)

В первом случае производная больше, поэтому ток растет быстрее.

При ток по абсолютному значению уменьшается и знак его производной изменяется на обратный. Кроме того, как показано на рис. 14-9, ток начиная с некоторого момента времени, растет медленнее, чем при разомкнутой второй катушке.

Рис. 14-9.

Попутно отметим, что, поскольку при включении токи катушек имеют противоположные направления, механические силы их взаимодействия стремятся оттолкнуть катушки друг от друга.

Рассмотрим энергетические соотношения.

Для этого умножим на обе части уравнения (14-26) и на обе части уравнения (14-27) и представим их в виде

Подставляя — в предыдущее уравнение, получаем:

Проинтегрировав в пределах от 0 до t, будем иметь:

Отсюда следует, что получаемая от источника энергия преобразуется частично в тепло, выделяемое в сопротивлениях обеих катушек (первые два слагаемых левой части последнего равенства), а частично запасается в магнитном поле, обеих катушек (три последних слагаемых левой части этого равенства). Так как знаки токов

различны последний член отрицателен Более подробный анализ показывает, однако, что знак суммы трех последних членов всегда положителен, так что за любой промежуток времени от 0 до t энергия источника частью переходит в тепло а частью расходуется на увеличение энергии магнитного поля катушек.

Рассмотрим еще случаи включения первой кагушки на постоянное напряже ние, если вторая катушка замкнута на резистор с сопротивлением

При этом будем считать, что числа витков катушек и различны, а магнитные потоки рассеяния, а следовательно, и индуктивности рассеяния катущек равны нулю (потоками рассеяния катушек называются потоки, сцепляющиеся только с каждой из них в отдельности, индуктивности рассеяния соответствуют этим потокам)

Учитывая равенства

запишем уравнения закона Кирхгофа для крждой из катушек:

Здесь для случая двух катушек, намотанных на стальной тороид с длиной l средней магнитном линии и сечением S, М равно

По закону полного тока, полагая для простоты воздушный зазор в стальном сердечнике отсутствующим, имеем

Но магнитный поток Ф скачком измениться в момент коммутации не может, так как это вызвало бы появление в каждой из обмоток бесконечно большой пропорциональной — и оба уравнения (14-29) перестали бы соблюдаться для момента коммутации

Поэтому

и

Вместе с тем в отличие от ранее рассмотренных задач каждый из токов и и в отдельности может в момент включения измениться скачком

Подчеркнем физический смысл задачи, заключающийся в том, что при включении катушек, связанных взаимной индуктивностью, именно наличие потоков рассеяния (а следовательно, и индуктивности рассеяния ) не позволяет токам изменяться в момент вкчючения скачком, так как иначе э. д. с. - обратились бы в бесконечность.

С учетом (14-31) перепишем уравнения (14-29) для изображений

Решая их относительно получаем

Применяя к току теорему разложения в форме (14-11), а к току в форме (14-10), найдем токи

где

Отсюда видно, что ток в момент включения изменяется скачком от нуля до значения

и затем постепенно увеличивается до значения Ток в момент включения также изменяется скачком от пуля до значения

а затем постепенно спадает до нуля Магнитный ноток Ф найдем из (14-30):

Поток Ф нарастает постепенно, начиная с нуля

Рис. 14-10

Отметим, что именно из-за отсутствия индуктивностей рассеяния катушек у токов и потока получилась только одна свободная составляющая (процесс включения в этом случае описывается дифференциальным уравнением первого порядка) Отметим, наконец, что если в цепи (рис 14-8), действовал источник переменного напряжения и затем в момент первая катушка замыкается накоротко, то уравнения в изображениях с учетом индуктивностей рассеяния будут [см уравнения (14-26) и (14-27).

Этим уравнениям соответствует эквивалентная операторная схема, приведенная на рис. 14-10.

Подобным же образом рассматривают переходные процессы и при других коммутациях в цепи по рис. 14-8.