Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Теорема 1. Если функция интегрируема на то она ограничена на
В самом деле, пусть неограничена на и
— ее интегральная сумма, соответствующая произвольному разбиению Так как неограничена на то она неограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения, пусть на Имеем
где сумма распространена на все Мы считаем, что все входящие в нее произвольны, но фиксированы. Отсюда
Зададим как угодно большее число и составим неравенство
В силу неограниченности на имеется такая точка для которой оно выполняется.
Мы получили, что если неограничена на то, каковы бы ни были число и разбиение соответствующая интегральная сумма может быть получена путем надлежащего выбора точек большей по абсолютной величине, чем Следовательно, не интегрируема на
В дальнейшем будут рассматриваться только ограниченные функции.
интегрируема на 
то она ограничена на 
неограничена на 
и
Так как 
неограничена на 
то она неограничена по крайней мере на одном из отрезков 
разбиения, пусть на 
Имеем
Мы считаем, что все входящие в нее произвольны, но фиксированы. Отсюда
и составим неравенство
на 
имеется такая точка 
для которой оно выполняется.
неограничена на 
то, каковы бы ни были число 
и разбиение 
соответствующая 
интегральная сумма может быть получена путем надлежащего выбора точек большей по абсолютной величине, чем 
Следовательно, 
не интегрируема на 
