§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции

Пусть в пространстве, где определена прямоугольная система координат задана гладкая вектор-функция (см. § 5.17)

На рис. 6.2 изображен годограф вектора и отмечены две точки годографа — концы векторов с началом в нулевой точке.

Рис. 6.2

Очевидно, что вектор равен При точка В, двигаясь по годографу, стремится к точке А, а секущая, проходящая через стремится занять положение определенной прямой, которую называют касательной к годографу в точке А. Поэтому преде льный вектор

(он не равен нулю) лежит на касательной к годографу в точке А. Длина вектора есть предел длины вектора при потому что

Если есть время и конец вектора описывает движение некоторой точки, то есть вектор, выражающий скорость этой точки в момент времени Длина его есть скалярная величина скорости. Кроме того, вектор определяет направление движения точки в момент Вектор есть ускорение точки в момент

В § 6.4 мы уже останавливались на некоторых свойствах производной от вектор-функции. Отметим еще следующие очевидные свойства:

где скалярное произведение, векторное произведение векторов

Отметим еще следующий факт. Пусть гладкая вектор-функция имеет постоянную норму (длину): Тогда и

Таким образом, для любого векторы и ортогональны (по условию ), т. е. перпендикулярны.

Вектор имеющий положительную длину можно записать в виде где единичный вектор, направленный в сторону а:

Очевидно, что если вектор а имеет производную для рассматриваемых то функции имеют производные для этих Производная от вектора раскладывается на два вектора:

Из них первый направлен в ту же сторону, что и (или ), и длина его равна скорости изменения длины а, а второй ортогонален Эта формула применяется в механике для разложения вектора ускорения на две составляющие, из которых одна имеет направление движения, а другая направлена перпендикулярно к ней.