§ 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл

Пусть на интервале задана непрерывная функция По определению функция называется первообразной функцией для на интервале если на нем производная от равна

Очевидно, что если функция есть первообразная для на — постоянная, то функция есть также первообразная для потому что

Обратно, если — первообразные для на то они необходимо отличаются друг от друга на всем интервале на некоторую постоянную С:

В самом деле, Но тогда, как отмечалось в предыдущем параграфе, существует такое (постоянное) число С, что на Отсюда следует (1).

Итак, мы установли, правда, пользуясь механическими соображениями, важный факт: если есть какая-либо первообразная от на интервале то всевозможные первообразные от на этом интервале выражаются формулой где вместо С можно подставить любое число.

Дадим теперь следующее определение. Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале функции называется некоторая ее первообразная функция. Неопределенный интеграл обозначается так:

Из сказанного следует, что если есть любая первообразная функция для на интервале то неопределенный интеграл от на этом интервале равен

где С — соответствующим образом подобранная постоянная.

Если непрерывные на интервале функции и постоянные, то имеет место следующее равенство, выражающее основное свойство неопределенного интеграла:

где С есть некоторая постоянная.

В самом деле, по определению неопределенного интеграла слева в (3) стоит какая-то одна из первообразных функций от . С другой стороны, имеет место равенство

потому что интегралы обозначают соответственно некоторые первообразные функции от Поэтому правая часть (3) без последнего члена С есть также первообразная для но тогда она отличается от левой части (3) на некоторую постоянную.

Свойство (3) по индукции распространяется на любое конечное число непрерывных на функций и постоянных

Как следствие при вытекает равенство

а при равенство

Примеры.

В самом деле (см. § 1.5, (1)-(3)),

Из (5) и (6) следует, что неопределенный интеграл от многочлена степени постоянные) равен