В самом деле,
Но тогда, как отмечалось в предыдущем параграфе, существует такое (постоянное) число С, что
на
Отсюда следует (1).
Итак, мы установли, правда, пользуясь механическими соображениями, важный факт: если
есть какая-либо первообразная от
на интервале
то всевозможные первообразные от
на этом интервале выражаются формулой
где вместо С можно подставить любое число.
Дадим теперь следующее определение. Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале
функции
называется некоторая ее первообразная функция. Неопределенный интеграл обозначается так:
Из сказанного следует, что если
есть любая первообразная функция для
на интервале
то неопределенный интеграл от
на этом интервале равен
где С — соответствующим образом подобранная постоянная.
Если
непрерывные на интервале
функции и
постоянные, то имеет место следующее равенство, выражающее основное свойство неопределенного интеграла:
где С есть некоторая постоянная.
В самом деле, по определению неопределенного интеграла слева в (3) стоит какая-то одна из первообразных функций от
. С другой стороны, имеет место равенство
потому что интегралы
обозначают соответственно некоторые первообразные функции от
Поэтому правая часть (3) без последнего члена С есть также первообразная для
но тогда она отличается от левой части (3) на некоторую постоянную.
Свойство (3) по индукции распространяется на любое конечное число непрерывных на
функций
и постоянных
Как следствие при
вытекает равенство
а при
равенство
Примеры.
В самом деле (см. § 1.5, (1)-(3)),
Из (5) и (6) следует, что неопределенный интеграл от многочлена
степени
постоянные) равен