Глава 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 7.1. Открытое множество

В n-мерном пространстве зададим произвольную точку Шаром (или замкнутым шаром) радиуса с центром в этой точке называют множество точек для которых выполняется неравенство

Открытым шаром радиуса с центром в мы будем называть множество точек х, для которых выполняется строгое неравенство

Определим прямоугольник в (замкнутый прямоугольник или прямоугольный параллелепипед в ) как множество точек координаты которых удовлетворяют неравенствам . В случае это реальный прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными осям прямоугольных координат

Можно еще определить открытый прямоугольник в как множество точек, удовлетворяющих строгим неравенствам

Множество точек х, координаты которых удовлетворяют неравенствам где заданное число, естественно назвать кубом (или замкнутым кубом) в с центром в точке и стороной длины . Конечно, при это будет куб с гранями, параллельными осям (прямоугольной) системы координат.

Наконец, открытый куб определяется при помощи неравенств

Неравенства говорят (если их читать справа налево), что если точка х принадлежит шару радиуса с центром в то она принадлежит и кубу со стороной длины с тем же центром. Таким образом, куб со стороной длины с центром в содержит в себе шар радиуса с тем же центром. С другой стороны, если точка х принадлежит кубу то

для нее выполняется неравенство показывающее, что шар с центром в радиуса содержит в себе куб со стороной длины с тем же центром (см. § 6.2, (12)).

Мы рассматривали открытые шары и кубы, но это же верно и для замкнутых шаров и кубов.

Зададим произвольное множество точек По определению называется внутренней точкой множества если существует открытый шар с центром в этой точке, полностью принадлежащий Слово шар здесь можно заменить на куб, потому что всякий шар содержит некоторый куб с тем же центром, и наоборот.

Множество называется открытым, если все его точки внутренние. Это определение можно еще сформулировать так: множество открытое, если из того, что какая-нибудь точка принадлежит ему, следует, что она внутренняя точка.

Отсюда видно, что пустое множество есть открытое множество.

Открытый шар

есть открытое множество. В самом деле, пусть у есть принадлежащая ему точка, т.е. — произвольная точка, принадлежащая шару

Для нее Это показывает, что шар (2) принадлежит шару (1).

Предоставляем читателю доказать, что открытый прямоугольник, в частности открытый куб, есть открытое множество.

Пересечение двух открытых множеств есть открытое множество. В самом деле, пусть точка принадлежит Так как есть внутренняя точка как так и , то существуют два открытых шара с центром в из которых первый принадлежит а второй Пересечение их есть, очевидно, открытый шар (наименьший из них), принадлежащий

Легко видеть, что сумма конечного или счетного числа открытых множеств есть открытое множество. Однако пересечение счетного числа открытых множеств может и не быть открытым; например, пересечение открытых шаров есть точка (нулевая точка).

Окрестностью точки называют произвольное открытое множество, содержащее в себе эту точку. Очевидно, что пересечение двух окрестностей есть в свою очередь окрестность

В дальнейшем нашем распоряжении будет много примеров открытых множеств, определенных строго математически, а сейчас мы призовем читателя к геометрической интуиции, сказав, что если с произвольного геометрического тела содрать его границу, то получим открытое множество.

В ближайших параграфах мы будем рассматривать функции от переменных или, что все равно, от точки определенные на открытых множествах n-мерного пространства.

Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить принадлежащей ему непрерывной кривой, т. е. если существует непрерывная вектор-функция такая, что (см. § 6.5).

Связное открытое множество называется областью.

Отрезком называется кривая , очевидно, непрерывная и соединяющая точки

Множество называется выпуклым, если вместе с точками ему принадлежит соединяющий их отрезок (примеры см. в конеце § 7.3).