§ 15.4. Теоремы об осцилляции

Пусть функция (вообще ); тогда при любом действительном

В самом деле,

Поэтому

Для косинуса рассуждение аналогично.

Теорема 1. Если то

В случае эта теорема следует из неравенств (1), правые части которых, как мы знаем, стремятся к нулю при Если же интервал есть часть интервала то будем считать функцию продолженной с на полагая вне Тогда, например,

Отметим, что для функции периода имеет место неравенство, аналогичное (1),

для натуральных

В самом деле, например,

откуда следует (1). Надо учесть, что во втором равенстве этой цепи мы воспользовались периодичностью с периодом Для это свойство при натуральном верно.

Теорема 2. Пусть и функция ограничена Тогда

равномерно относительно всех

Сам факт стремления к нулю в (2) при любом фиксированном х непосредственно следует из (2), потому что при условии теоремы для любого фиксированного х имеем , а также потому что ограничена. Но нас интересует равномерность сходимости (2).

Доказательство. Зададим и пусть непрерывная периода функция, для которой

Имеем

при достаточно большом Для любого

Надо учесть, что в последнем неравенстве его левая часть не зависит от этим обеспечивается равномерная сходимость относительно любого х. Мы считали Для рассуждения аналогичны.

Теорема 3. Пусть и функция кусочно непрерывна и ограничена на Тогда

равномерно на любом конечном отрезке (пояснения ниже).

Доказательство. Задаем и подбираем финитную в непрерывную функцию так, чтобы

Рассуждаем, как в (3) (пояснения ниже):

где достаточно велико. Здесь отрезок носитель функции Если то если же то Поэтому в последнем интеграле пределы заменены на . Отметим, что из (2) следует, что коэффициенты Фурье функции стремятся к

Заметим еще, что если функция принадлежит то тот факт, что ее коэффициенты Фурье стремятся к нулю, следует также из неравенства Парсеваля

Стремление к нулю интеграла (2), соответствующего, например, синусу, можно объяснить следующим образом. Несмотря на то, что функция может иметь много, даже (в случае L) бесконечное число разрывов, она все же обладает многими свойствами непрерывных функций. Это проявляется в доказанных выше теоремах об осцилляции. Множитель изгибает график в график, состоящий из волн. Каждая из них состоит из двух полуволн, которые в среднем хорошо компенсируют друг друга при интегрировании. Результат компенсации налицо: интеграл (5) стремится к нулю при