§ 4.4. Функции, непрерывные на отрезке

Функция называется непрерывной на отрезке (на множестве точек удовлетворяющих неравенствам а ), если она непрерывна во всех точках интервала (множества точек для которых ), непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке

Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом замечательных свойств, к изложению которых мы сейчас приступим. Впрочем, мы не останавливаемся пока на важном понятии — равномерной непрерывности функции; оно будет изучено позднее (§ 7.10, теорема 4) сразу для функции переменных. Из полученных там результатов выводятся соответствующие результаты для непрерывной на отрезке функции от одной переменной.

Начнем со следующей леммы.

Лемма 1. Если все значения последовательности стремящейся к числу а, принадлежат то и а

Доказательство. Эта лемма следует из теоремы 3 § 3.1.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то она ограничена на нем.

Доказательство. Допустим, что не ограничена на Тогда для каждого натурального числа найдется точка такая, что

Последовательность ограничена ( числа) и из нее можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторой точке

(см. предыдущую лемму и теорему 1 из § 3.7). Но в точке а функция непрерывна и потому

Но свойство (2) противоречит свойству (1). Поэтому может быть только ограниченной на

Заметим, что если функция непрерывна на интервале или на полуинтервале или то она не обязательно ограничена на нем. Например, функция непрерывна на полуинтервале (0,1], но не ограничена на нем. Если эту функцию доопределить, положив то она будет конечной в любой точке отрезка [0,1], однако не ограниченной на нем.

Теорема 2. Непрерывная на функция достигает в некоторых точках отрезка своих максимума и минимума, т.е. существуют точки а и (5, принадлежащие для которых имеет место

Таким образом, для всех

Доказательство. По предыдущей теореме непрерывная на функция ограничена, следовательно, она ограничена сверху некоторым числом К:

Но тогда существует точная верхняя грань на

Число обладает следующим свойством: для любого натурального числа найдется на точка такая, что

Последовательность как принадлежащая к ограничена, и потому из нее можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторому числу которое заведомо принадлежит (учесть лемму 1). Но функция непрерывна в точке и потому . С другой стороны, и

Но так как может стремиться только к одному пределу, то

Верхняя грань (3), таким образом, достигается в точке т.е., как говорят, функция достигает в точке своего максимума на отрезке Мы доказали, что существует точка для которой

Доказательство другой части теоремы о минимуме аналогично, но его можно свести к доказательству первой части теоремы, учитывая, что

Замечание. Функция непрерывна на интервале (0,1) и ограничена на нем; верхняя ее грань не достигается, т.е. нет такого , для которого эта функция равна 1. Таким образом, в доказанной теореме условие непрерывности на замкнутом (содержащем в себе оба конца отрезке существенно.

Очевидно, что Однако нет такого х на луче для которого функция принимает значение и она не достигает максимума на . В данном случае условия теоремы не выполняются: область задания непрерывной функции не ограничена.

Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке и числа не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале имеется по крайней мере одна точка с такая, что

Доказательство. Обозначим отрезок через . Разделим на две равные части. Если в середине функция равна нулю, то теорема доказана; если этого нет, то одна из половинок такова, что на концах ее наша функция принимает значения разных знаков. Обозначим именно эту половинку через и разделим ее на две равные части. Может случиться, что в середине наша функция равна нулю, и тогда теорема доказана. Если нет, то обозначим через ту из половинок, на концах которой принимает значения разных знаков. Рассуждая так по индукции, мы либо наткнемся на очередном этапе рассуждений на точку для которой и тогда теорема доказана, либо получим последовательность (бесконечную) вложенных друг в друга отрезков на каждом из которых имеет значения разных знаков. Тогда существует точка с, принадлежащая всем следовательно, и Очевидно, потому что, если допустить, например, что , то нашлась бы окрестность точки с такая, что для всех из принадлежащих функция была бы положительной, но этого не может быть, потому что при достаточно большом отрезок не сохраняет знак на Теорема доказана.

Следствие. Если функция непрерывна на — произвольное число, находящееся между числами то на интервале найдется по крайней мере одна точка с, для которой

Это следствие можно сформулировать и так: непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка

Доказательство. Определяем новую функцию где С — константа — число, находящееся между Так как непрерывная на функция, то и непрерывная на функция. При этом, очевидно, принимает на концах отрезка значения, имеющие разные знаки. Тогда по доказанной теореме должна найтись внутри такая точка с, что или т.е. Это требовалось доказать.

Пример 1. Уравнение имеет корень на интервале

В самом деле, функция непрерывна на отрезке и на концах его принимает значения разных знаков:

Замечание. Для разрывной на функции доказанная теорема вообще не имеет места, как легко видеть на примере функции