§ 8.2. Комплексные числа

Комплексными числами называются выражения вида где действительные числа, символ (буква).

При этом над этими выражениями производятся арифметические действия по правилам, установленным в алгебре для рациональных буквенных выражений. Но к этим правилам добавляется соотношение

Таким образом,

т. е. при

Можно еще сказать, что комплексными числами называются выражения где действительные числа, символ, и при этом выполняются правила арифметических действий над ними.

Правило (2) говорит, что действительное число есть частный случай комплексного числа при Число называется мнимым числом, согласно (3) оно получается из а при

В данном втором определении комплексных чисел равенства являются определениями арифметических операций над комплексными числами. При этом видно, что сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел (с естественным исключением для частного) есть в свою очередь комплексное число.

Разные комплексные числа считаются не равными между собой, и потому равенство где действительные числа, верно тогда и только тогда, когда

Можно еще сказать, что равенство а верно тогда и только тогда, когда

При втором определении свойство вытекает из (5) при

Делается еще один шаг: комплексные числа где действительные, обозначаются буквами, например, пишут называется действительной частью (компонентой) числа мнимой его частью (но (5 действительное).

Обычно, когда говорят, что задано комплексное число не делая дополнительных оговорок, то автоматически считают действительными числами.

Рис. 8.1

Комплексные числа изображаются в виде (рис. 8.1) точек (комплексной) плоскости, каждому числу приводится в соответствие точка (точка а) с прямоугольными координатами Обозначим через длину радиус-вектора точки а и через в (при а угол (в радианах), образованный им с положительным направлением оси х. Ясно, что поэтому

Если то равенство (7) сохраняется при любом .

Итак, мы доказали, что всякое комплексное число а можно представить в форме (7), где неотрицательное число. При этом в этом (тригонометрическом) представлении есть единственное (неотрицательное) число; в при также единственное число, если потребовать, чтобы оно удовлетворяло неравенствам

Если изменить в (7) одно из чисел в или оба (при условии (8)), то получим уже другую комплексную точку.

Число называется модулем и обозначается так:

Если действительное, то модуль и абсолютная величина совпадают.

Число же в, удовлетворяющее неравенствам называется аргументом в приведенной форме и обозначается так: Но уравнению (7) удовлетворяет также любое значение , отличающееся от на величину Поэтому еще вводится понятие аргумента :

это — бесконечнозначная функция от . Любое решение уравнения (7) относительно в может быть записано в форме (9). Положим

Мы, таким образом, впервые определяем функцию для чисто мнимого аргумента Для произвольной комплексной переменной функция определяется затем при помощи равенства

есть комплексная функция (принимающая комплексные значения) от действительного аргумента . Когда в изменяется непрерывно на полуинтервале точка описывает непрерывно окружность радиуса 1 с центром . Таким образом, Ясно, что периодическая функция периода Она подчиняется свойствам

каковы бы ни были и потому что

Из (11) следует еще, что сказанного выше следует, что всякое комплексное число представимо в (тригонометри ческой) форме: , где единственное число, равное определено с точностью до слагаемого Имеет место неравенство

и вытекающее из него другое неравенство

каковы бы ни были комплексные Геометрически они выражают (рис. 8.2), что сторона треугольника не больше суммы его остальных

сторон и не меньше их разности. На языке компонент чисел неравенство (12) сводится к неравенству (см. § 6.2, (9))

Справедливы также равенства

Равенство (15) надо понимать в том смысле, что в качестве аргументов можно взять любые допустимые числа , и тогда окажется, что отличается от на величину где k — некоторое целое.

Рис. 8.2

Докажем (14) и (15). Пусть , где — какие-то определенные (но произвольные) допустимые аргументы Тогда

и на основании единственности представления комплексного числа в показательной форме где k — некоторое целое.

Если комплексное число, то число называется сопряженным к . Таким образом, если действительное число, то Имеем

потому что если

то

Рассмотрим задачу о вычислении корня степени из числа регв Требуется, таким образом, найти все числа такие, что Но тогда гпегпср и вследствие единственности представления комплексного числа в показательной форме, Из первого равенства следует арифметическое значение корня степени из положительного числа Из второго же, что

Значения дающие различные корни степени из , соответствуют только значениям к:

Остальным целым соответствуют значения отличающиеся от одного из значений (19) на величину, кратную

Мы доказали, что у комплексного числа существует (и только ) корней степени записываемых по формуле

где определяются равенствами (19).

Пример 1.

Если в равенстве

приравнять действительные и мнимые части, то получим (20) и (21). Обе суммы, (20) и (21), имеют большое значение в теории рядов Фурье; функция (20) называется суммой или ядром Дирихле.