§ 8.8. Подстановки Эйлера
С помощью этих подстановок интеграл
где 
рациональная функция от 
приводится к интегралу от рациональной функции.
Первая подстановка соответствует случаю, когда корни 
трехчлена а 
действительны. Она имеет вид
и тогда 
Функция 
так же, как ее производная 
рациональная функция, поэтому
где 
— рациональная функция.
Обратный переход от 
осуществляется по формуле (2). Вторая подстановка. Корни трехчлена 
комплексные. Тогда надо считать, что 
иначе трехчлен был бы отрицательным для всех 
Полагаем
Возводя это равенство в квадрат и заменяя 
его выражением, получим
отсюда
поэтому
где 
рациональная функция от 
Обратная подстановка:
Отметим, что рассматриваемая подстановка годится и тогда, когда корни трехчлена 
действительны, лишь бы было 
Пример 1. Трехчлен имеет комплексные корни:
Делаем вторую подстановку:
В частности, 1) 
3) трехчлен имеет комплексные корни (верхний знак здесь и далее соответствует положительным 
или 
; трехчлен может иметь и действительные корни, лишь бы они были различны:
в частности, 
5) интегралы 
приводятся к предыдущим, если ввести новые переменные, соответственно 
