§ 12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя

Зададим в плоскости прямоугольную систему координат как на рис. 12.8, а и 12.8, б.

Мы предполагаем для определенности, что положительное направление оси получается из положительного направления оси поворотом оси на угол 90° против часовой стрелки.

Рис. 12.8, а

Рис. 12.8, б

Зададим два не равных нулю вектора выходящих из нулевой точки, с определителем

Рис. 12.9

Если то, чтобы получить направление вектора нужно повернуть (против часовой стрелки) а на угол, меньший , а если то это связано с поворотом на угол, больший . В самом деле, очевидно, что где углы, образованные соответственно векторами с осью откуда

Величина есть, очевидно, площадь параллелограмма, построенного на векторах

Рассмотрим теперь трехмерное пространство, где задана прямоугольная система координат (см. рис. 12.9), и три вектора с определителем

Пусть орты осей Их определитель

Если то можно определить три непрерывные вектор-функции

такие, что будут удовлетворяться условия

и при этом для любого определитель

Если же то невозможно построить три непрерывные вектор-функции с указанными свойствами.

В случае говорят, что упорядоченная тройка векторов с ориентирована так же, как тройка , в то время как в случае тройка ориентирована противоположно ориентации тройки

Подобная характеристика и 2-го случаев) может быть дана и для пар векторов на плоскости (см. еще далее § 13.8, а также 4-е издание этой книги, § 12.14).