§ 15.2. Сумма Дирихле

Пусть задана функция (вообще и пусть

есть ее ряд Фурье, где, таким образом,

Частичная сумма этого ряда может быть преобразована так:

где

Мы получили компактное выражение для суммы Фурье функции

В последнем равенстве мы воспользовались периодичностью подынтегральной функции.

Интеграл (4) называется интегралом Дирихле порядка а полином ядром Дирихле порядка Заметим, что при любом

потому что

В последнем равенстве использована периодичность (период ) функции и тот факт, что она ортогональна на отрезке к функции, тождественно равной единице. Всякий ряд вида

где — постоянные числа (коэффициенты ряда), называется тригонометрическим рядом.

Тригонометрический ряд становится рядом Фурье только тогда, когда существует функция коэффициентами Фурье которой являются соответственно числа Например, если установлено, что ряд (6) сходится в смысле среднего квадратического на к некоторой функции (или то он есть ряд Фурье этой функции (см. следствие леммы 1 § 14.6).

Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, в то время как произведение четной на нечетную функцию есть функция нечетная. Поэтому если функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид

потому что ее коэффициенты а если она нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид

потому что тогда ее коэффициенты