§ 15.11. Многочлены Лежандра

Рассмотрим функции

на отрезке Ясно, что это многочлены степени и притом строго степени Дифференцируя по правилу Лейбница раз, получим

где не выписанные члены содержат множите Поэтому Полагая и интегрируя по частям, получим

Первое слагаемое в третьем члене цепи равно нулю, потому что имеет числа и —1 своими нулями кратности следовательно, производная при подстановке в нее или —1 обращается в нуль. К последнему явно написанному интегралу, содержащему (вместо исходного применяем снова интегрирование по частям, понижающее степень х еще на единицу, и т. д. — это, очевидно, приводит к нулю.

Полученное равенство показывает, что система (1) ортогональна на

Вычислим интеграл от квадрата на Положим

Тогда

Но

Поэтому следовательно, нормированные многочлены имеют вид

С другой стороны, если произвести процесс ортогонализации системы на отрезке как это делалось в § 14.7, то мы получим полную ортогональную на систему многочленов единственных с точностью до знака.

В этом процессе на его этапе многочлен степени задавался как, во-первых, нормальный а во-вторых, ортогональный к и этим он определялся с точностью до знака. Но многочлен обладает всеми указанными свойствами, и потому он тождественно равен одному из многочленов или именно тому, который имеет положительный коэффициент при потому что обладает этим свойством.

Так как система полна в то мы доказали, что система функций

не только ортогональна и нормальна на но и полна в (тем более в ).

Функции называются многочленами (или полиномами) Лежандра, нормальными на отрезке Функции также называются многочленами Лежандра, нормированными условием

Таким образом, к полиномам Лежандра применима общая теория ортогональных систем функций (см. § 14.6). В частности, любая функция разлагается в ряд Фурье:

по многочленам Лежандра сходящийся к на в смысле среднего квадратического.

Для рядов по многочленам Лежандра возможно исследование вопроса об обычной или равномерной сходимости их к функциям, как это делалось нами для тригонометрических рядов Фурье. Например, известно, что если функция имеет на отрезке непрерывную вторую производную, то ее ряд по многочленам Лежандра равномерно на этом отрезке сходится к ней. Как и для рядов Фурье, оценка остаточного члена разложения по многочленам Лежандра зависит от дифференциальных свойств Вообще, если функция лучше, то и оценка лучше. Отметим еще, что, как правило, сходимость рядов по полиномам Лежандра лучше строго внутри отрезка и хуже на его концах.