§ 10.7. Формула Симпсона

В этом параграфе мы вводим важную в прикладном анализе квадратурную формулу Симпсона. Она очень проста и в то же время обладает замечательным свойством: она точна для всех многочленов третьей степени.

Начнем с того, что решим задачу: требуется найти числа такие, чтобы квадратурная формула

была точна для функций Подставляя эти функции в (1) вместо получим систему уравнений

откуда Но так как то легко проверяется, что полученная формула (1) точна и для функции Но тогда она точна для всех многочленов не выше третьей степени.

Более общая квадратурная формула имеет вид

Это — простейшая квадратурная формула Симпсона, соответствующая отрезку Она точна для функций но тогда, как легко видеть, и для любого многочлена степени

Если разделить отрезок на равных частей точками

и к отрезкам применить формулу (2), то в результате получим (усложненную) квадратурную формулу Симпсона

Оказывается, ошибка приближения по квадратурной формуле (4) оценивается так:

Замечание. Подтвердилось правило, высказанное в замечании в § 10.6: если степень многочленов, для которых квадратурная формула точна, то для функций имеющих на непрерывную производную порядка порядок приближения формулой равен . В данном случае .

Обоснование этой теории см. в издании этой книги, § 10.6-10.9.

С точки зрения практических вычислений, сложность вычислений по формуле Симпсона и по формуле прямоугольников одинакова. Но если функция достаточно гладкая, то ошибка приближения по формуле Симпсона при больших значительно меньше соответствующей ошибки при приближении методом прямоугольников.