§ 11.3. Ряды с неотрицательными членами

Теорема 1 (признаки сравнения рядов). Пусть даны два ряда:

с неотрицательными членами.

а) Если то из сходимости ряда 2) следует сходимость ряда 1), а из расходимости ряда 1) следует расходимость ряда 2).

то ряды 1) и 2) одновременно сходятся или расходятся.

Доказательство. Пусть ряд 2) сходится и его сумма. Тогда

т. е. частичные суммы ряда 1) ограничены и ряд 1) сходится. Его сумма удовлетворяет неравенству

Пусть теперь ряд 1) расходится; тогда (см. § 11.1) его частичная сумма неограниченно возрастает вместе с что в силу неравенства

влечет также неограниченное возрастание частичных сумм ряда 2), т. е. расходимость последнего.

Пусть теперь имеет место равенство (1). Тогда на самом деле и для положительного найдется такое, что откуда

Если ряд 2) сходится, то сходится также ряд . В силу второго неравенства (2) сходится также ряд , а вместе с ним и ряд 1). Если же ряд 2) расходится, то расходится также ряд , а вместе с ним ряд тогда расходится также ряд (1). Теорема доказана.

Теорема 2 (признаки Даламбера). Пусть дан ряд

с положительными членами.

а) Если

то ряд (3) сходится; если же

то ряд расходится.

то ряд (3) при сходится, расходится, и его общий член

Доказательство. Имеем

Поэтому из (4) следует, что

и так как ряд сходится, то вместе с ним и ряд (3). Из (5) следует, что

следовательно, ряд (3) расходится.

Если теперь выполняется свойство (6) и то для положительного такого, что где достаточно велико. В силу признака (4) в таком случае ряд сходится, а вместе с ним и ряд (3).

Если же то возьмем такое, что Но при достаточно большом поэтому для получим

Это показывает, что и ряд (3) расходится.

Теорема 3 (признаки Коши). Пусть дан ряд (3) с положительными членами. а) Если

то он сходится; если же

то он расходится.

б) Если

то при сходится, а при расходится, и при этом

в) Если верхний предел

то ряд сходится, расходится, и при этом общий член ряда не ограничен.

Доказательство. Из неравенства (7) следует, что и так как в случае ряд сходится и ряд (3). Из неравенства же (8) следует, что и так как ряд расходится, то расходится и ряд (3). Утверждение а) доказано.

Пусть Тогда найдется такое, что Из свойства (9) при следует, что

при достаточно большом откуда

и так как ряд сходится, то сходится и ряд а вместе с ним ряд (3). Если же то можно указать такое, что Тогда из свойства (9) при вытекает, что при достаточно большом Следовательно, и ряд (3) расходится. Мы доказали б).

Из свойства (9) так же, как из свойства (9) при вытекает (10). Далее рассуждения ведутся как при доказательстве б) при Если же то берем такое, что и из (9) заключаем, что для некоторой подпоследовательности последовательности Но тогда

Это показывает, что ряд (3) расходится и его общий член не ограничен. Этим утверждение в) доказано.

Замечание 1. Ряд с общим членом сходится при и расходится при (см. § 9.15, (5) ). При этом в обоих случаях

так же, как

Таким образом, существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды с признаками (11) или (12).

Ряд называется гармоническим рядом. Примеры.

Ряды 1), 2), очевидно, сходятся при Но ряд 1) также сходится для любого потому что тогда Ряд же 2) сходится при и расходится для потому что для него при см. выше замечание 1. Ряды

3) и 4) расходятся, потому что знак асимптотического равенства, см. § 4.10), а ряд расходится. Ряд 5) сходится при и расходится при потому что для него При он тоже расходится — общий его член в этом случае равен 1.

Теорема 4. Пусть ряд

с неотрицательными членами сходится и имеет сумму Тогда полученный в результате произвольной перестановки его членов новый (заново перенумерованный) ряд

также сходится и имеет ту же сумму Доказательство. Пусть

— частичная сумма ряда (14). Члены ее находятся в ряде (13) под некоторыми номерами Пусть наибольшее число среди них есть частичная сумма ряда. Очевидно, и так как произвольно, то ряд (14) сходится и имеет сумму Но теперь приведенное рассуждение можно провести еще раз, поменяв ряды (13) и (14) местами, и получить, что Поэтому