§ 1.4. Понятие непрерывности функции

На рис. 1.8 изображен график функции Его естественно назвать непрерывным графиком, потому что он может быть нарисован одним непрерывным движением карандаша без отрыва от бумаги. Зададим произвольную точку (число)

Рис. 1.8

Рис. 1.9

Близкая к ней другая точка может быть записана в виде где есть число, положительное или отрицательное, называемое приращением х. Разность

называется приращением функции в точке соответствующим приращению На рис. 1.8 равно длине отрезка

Будем стремить непрерывно к нулю; тогда для рассматриваемой функции, очевидно, и будет стремиться к нулю:

Рассмотрим теперь график, изображенный на рис. 1.9. Он состоит из двух непрерывных кусков и Однако эти куски не соединены непрерывно, и потому график естественно назвать разрывным. Чтобы график изображал однозначную функцию в точке условимся, что равно длине отрезка, соединяющего в знак этого точка А изображена на графике жирно, в то время как у точки нарисована стрелка, указывающая, что не принадлежит графику. Если

бы точка принадлежала графику, то функция была бы двузначной в точке

Придадим теперь приращение и определим соответствующее приращение функции:

Если мы будем стремить непрерывно к нулю, то уже нельзя будет сказать, что стремится к нулю. Для отрицательных стремящихся к нулю, это так, но для положительных вовсе не так: из рисунка видно, что если оставаясь положительным, стремится к нулю, то соответствующее приращение при этом стремится к положительному числу, равному длине отрезка

После этих рассмотрений естественно ввести следующее определение (принадлежащее Коши). Функция заданная на отрезке называется непрерывной в точке этого отрезка, если приращение ее в этой точке, соответствующее приращению стремится к нулю при любом способе стремления к нулю. Это свойство (непрерывности в ж) записывается в виде соотношения (1), или еще так:

Запись (2) читается так: предел равен нулю, когда стремится к нулю по любому закону. Впрочем, выражение "по любому закону" обычно опускают, подразумевая его.

Если определенная на функция не является непрерывной в точке т.е. если для нее не выполняется свойство (2) хотя бы при одном способе стремления к нулю, то она называется разрывной в точке

Функция, изображенная на рис. 1.8, непрерывна в любой точке функция же, изображенная на рис. 1.9, очевидно, непрерывна в любой точке за исключением точки потому что для последней соотношение (2) не выполняется, когда оставаясь положительным.

Данное определение непрерывности функции в точке, само по себе совершенно корректное, базируется пока на интуитивном понимании понятия предела. После того как будет изложена теория пределов, это определение, которое может быть расширено и на случай функций многих переменных, получит полное обоснование.

Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называется непрерывной на нем.

Непрерывная функция математически выражает свойство, с которым нам приходится часто встречаться на практике, заключающееся в том, что малому приращению независимой переменной соответствует малое приращение зависимой от нее переменной (функции).

Прекрасными примерами непрерывной функции могут служить различные законы движения тел выражающие зависимости пути пройденного телом, от времени Время и пространство непрерывны, при этом тот или иной закон движения устанавливает между ними определенную непрерывную связь, характеризующуюся тем, что малому приращению времени соответствует малое приращение пути.

К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая окружающие его так называемые сплошные среды: твердые, жидкие или газообразные, например металлы, воду, воздух. На самом деле, всякая физическая среда представляет собой скопление большого числа отделенных друг от друга движущихся частиц. Однако эти частицы и расстояния между ними настолько малы по сравнению с объемами сред, с которыми приходится иметь дело в макроскопических физических явлениях, что многие такие явления можно достаточно хорошо изучать, если считать приближенно массу изучаемой среды непрерывно распределенной без всяких просветов в занятом ею пространстве. На таком допущении базируются многие физические дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика, теория упругости. Математическое понятие непрерывности, естественно, играет в этих дисциплинах, как и во многих других, большую роль.

Рис. 1.10

Непрерывные функции образуют основной класс функций, с которым оперирует математический анализ.

Примерами непрерывных функций могут служить элементарные функции, определенные в § 1.3. Они непрерывны на интервалах изменения где они определены.

Разрывные функции в математике отражают скачкообразные процессы, встречающиеся в природе. При ударе, например, величина скорости тела меняется скачкообразно. Многие качественные переходы сопровождаются скачками. Например, зависимость между температурой одного грамма воды (льда) и количеством калорий находящегося в ней тепла, когда изменяется между —10° и +10°, если принять условно, что при —10° величина равна нулю, выражается следующими формулами:

Мы считаем, что теплоемкость льда равна 0,5. При эта функция оказывается неопределенной — многозначной; можно для удобства условиться, что при она принимает вполне определенное значение, например Функция разрывная при изображена на рис. 1.10.