§ 7.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре (кубе). В противном случае называется неограниченным. В этом определении можно считать, что шар (куб), о котором идет речь, имеет центр в нулевой точке, потому что если все точки удовлетворяют неравенству , то и неравенству

Следующая теорема обобщает соответствующую одномерную теорему и базируется на ней.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности точек можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторой точке

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то существует число такое, что

Это показывает, что координаты точек также ограничены. Первая координата пробегает ограниченную последовательность и на основании одномерной теоремы найдутся подпоследовательность натуральных чисел и некоторое число такие, что Вторую координату рассмотрим только для найденных натуральных Подпоследовательность ограничена, и по одномерной теореме можно выбрать подпоследовательность и число такие, что Так как есть подпоследовательность то имеет место одновременно . В силу

ограниченности третьей координаты можно, рассуждая, как выше, получить подпоследовательность подпоследовательности для которой одновременно

где некоторое число. Продолжая этот процесс, на его этапе получим подпоследовательность натуральных чисел и систему чисел такие что одновременно Полагая получим утверждение теоремы.