§ 6.7. Длина дуги кривой

Пусть есть непрерывная кривая:

Разобьем отрезок на части точками:

Им соответствуют точки кривой Если соединить их последовательно отрезками (рис. 6.3), то получим ломаную, вписанную в

Длиной кривой называется предел, к которому стремится сумма длин звеньев этой ломаной:

когда максимальный частичный отрезок разбиения (2) стремится к нулю. Если предел (3) существует, то говорят, что кривая спрямляема на отрезке изменения параметра

Рис. 6.3

Рис. 6.4

Будем считать теперь, что наша кривая гладкая. Таким образом, функции предполагаются непрерывными и имеющими непрерывные производные на подчиняющиеся неравенству

В § 10.3 будет доказано, что гладкая кривая спрямляема на любом отрезке изменения параметра и что длина дуги гладкой кривой обладает свойством аддитивности. Это значит, что если три точки соответствующие значениям параметра то имеет место равенство

На рис. 6.4 изображена гладкая ориентированная кривая Считаем, что она определена вектор-функцией (1). При этом А — начальная точка соответствующая значению параметра текущая точка соответствующая значению Значению придано приращение На рисунке отмечена точка С, соответствующая значению параметра

Длина дуги обозначается через

и, соответственно,

В § 10.3 будет доказано, что для гладкой дуги ее малая длина при эквивалентна соответствующей ее хорде, т. е.

или

Откуда

После перехода к пределу при получим формулу

Кроме того, Но тогда есть строго возрастающая функция, отображающая отрезок изменения на некоторый отрезок [0,1] изменения и существует обратная к ней функция

непрерывная и имеющая непрерывную производную

Следовательно, можно рассматривать как один из допустимых параметров нашей гладкой кривой Г:

Заметим, что мы считали, что возрастает вместе с поэтому перед корнем в (5) стоит знак Отметим формулу

вытекающую из (5).

Примечание. Если пользуются записью то при переходе от просто пишут