§ 7.22. Система зависимых функций

Пусть задана система функций

непрерывно дифференцируемых на области -мерного пространства.

По определению система (1) зависима на если по крайней мере одна из функций, например выражается через остальные на при помощи равенства

где некоторая непрерывно диффенцируемая функция от есть тождество относительно на если в нем положить . В случае (2) будем еще говорить, что функция зависима от функций на

Теорема 1. Если система (1) зависима то все определители порядка, порождаемые матрицей

тождественно равны нулю на

Действительно, пусть, например, зависит от при помощи равенства (2). Тогда

Поэтому определитель

потому что если помножить его первые строки соответственно на и вычесть полученные строки из строки, то последняя будет состоять из нулей. Аналогично рассуждая, получим, что и любой другой определитель порядка, порождаемай матрицей (3), тождественно равен нулю на

Конечно, из доказанной теоремы следует, что если хотя бы один определитель порядка отличен от нуля в некоторой точке то система (1) независима на