§ 9.8. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-Лейбница

Пусть на отрезке задана интегрируемая функция Начнем с того, что отметим, что

т. е. не имеет никакого значения, какая буква или стоит под знаком в определенном интеграле по отрезку

Зададим произвольное значение и определим новую функцию Она определена для всех значений потому что мы знаем, что если существует интеграл от на то существует также интеграл от на где Напомним, что мы считаем по определению

Заметим, что

Покажем, что непрерывна на отрезке . В самом деле, пусть тогда

и если

Таким образом, непрерывна на независимо от того, имеет или не имеет разрывы; важно, что интегрируема на

На рис. 9.1 изображен график Площадь переменной фигуры равна Ее приращение равно площади фигуры которая в силу ограниченности очевидно, стремится к нулю при независимо от того, будет ли х точкой непрерывности или разрыва например точкой

Рис. 9.1

Пусть теперь функция не только интегрируема на но непрерывна в точке Докажем, что тогда имеет в этой точке производную, равную

В самом деле, для указанной точки х (пояснения ниже)

Мы положили , а так как постоянная относительно то . Далее, в силу непрерывности в точке х для всякого можно указать такое что для Поэтому

что доказывает, что левая часть этого неравенства есть при

Переход к пределу в (3) при показывает существование производной от в точке х и справедливость равенства (2). При речь здесь идет соответственно о правой и левой производной.

Если функция непрерывна на то на основании доказанного выше соответствующая ей функция

имеет производную, равную Следовательно, функция есть первообразная для на

Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции (см. § 8.1).

Пусть теперь есть произвольная первообразная функции на Мы знаем, что , где С — некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве а и учитывая, что получим

Таким образом, Но

Поэтому

Мы доказали важную теорему:

Теорема 1. (Ньютона-Лейбница). Если непрерывна на отрезке и ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство (5).

Из (5) по теореме Лагранжа следует:

где некоторая точка (см. также § 9.7, (6) и следствие 2). Теорему 1 можно обобщить.

Теорема 2. Для непрерывной кусочно гладкой на функции имеет место

Доказательство. Пусть где точки разрыва F (первого рода). Тогда (пояснения ниже)

Второе равенство в (7) верно, потому что для любого

Ведь производная существует и непрерывна на интервале Кроме того, существуют пределы которые равны соответственно правой и левой производной от в точках

Из интегрируемости на каждом из отрезков следует ее интегрируемость на и последнее равенство (7).

Замечание. Функция не определена в точках но это не мешает ей быть интегрируемой на (см. подробнее по этому поводу § 9.10).

Теорема 3. Для непрерывных кусочно гладких на функций имеет место формула интегрирования по частям:

Ведь произведение есть также непрерывная кусочно гладкая на функция, имеющая, таким образом, всюду на за исключением конечного числа точек, производную, вычисляемую по формуле

Если учесть еще, что функции интегрируемы на то в силу предыдущей теоремы

откуда следует (9).

Теорема 4 (о замене переменной). Справедливо равенство

где функциях непрерывно дифференцируема на и значения принадлежат отрезку на котором непрерывна. (Таким образом, )

В самом деле, пусть соответственно первообразные функции Тогда (см. § 8.1, (2)) имеет место тождество где С — некоторая постоянная. Теперь (10) следует из очевидного равенства

на основании теоремы Ньютона-Лейбница.

Пример в силу теоремы Ньютона-Лейбница: непрерывна на ее первообразная.

Пример 2.

в силу теоремы 2, потому что есть непрерывная кусочно гладкая (или гладкая, если ) функция на отрезке ее производная, существующая всюду на за исключением точки