§ 12.2. Мера Жордана

В евклидовом n-мерном пространстве точек мы будем рассматривать прямоугольники

и называть n-мерной мерой А число

Таким образом, А при обозначает обычный прямоугольник со сторонами, параллельными осям прямоугольной системы координат, а его площадь; при это есть обычный прямоугольный параллелепипед в пространстве с ребрами, параллельными осям прямоугольной системы координат, имеющий объем, равный

Мы будем рассматривать такие множества каждое из которых есть сумма (теоретико-множественная) конечного числа прямоугольников А:

пересекающихся между собой разве что по своим границам, и называть эти множества фигурами. При этом n-мерной мерой а будем называть число

Можно еще сказать, что а есть множество в которое можно разрезать на конечное число прямоугольников А.

Мы уже не будем доказывать факт, который считаем элементарным, что величина не зависит от способа разрезывания а на прямоугольники А.

На рис. 12.1 изображена фигура а с Пустое множество по определению есть фигура меры нуль принадлежащая к любой фигуре Отметим без доказательства некоторые свойства

1) (только пустое множество имеет меру нуль);

2) если то (равенство имеет место, если );

3) Сумма фигур фигура и

при этом равенство имеет место только тогда, когда фигуры пересекаются разве что своими границами;

4) замыкание разности о есть фигура (надо учесть, что замыкание пустого множества есть пустое множество, а если непустые, то будет фигурой без некоторых ее граничных точек, это множество делается фигурой, если его замкнуть, т. е. добавить к нему все его граничные точки); если то

Пусть есть ограниченное множество. Существует, таким образом, прямоугольник (фигура), содержащий в себе

Рис. 12.1

Рис. 12.2

Будем рассматривать всевозможные фигуры содержащие в себе

Точная нижняя грань (-мерных) мер таких фигур есть неотрицательное число

называемое внешней n-мерной мерой Жордана множества (коротко, внешней мерой G).

С другой стороны, точная верхняя грань

мер фигур принадлежащих называется внутренней n-мерной мерой Жордана (коротко, внутренней мерой G).

Для любого ограниченного множества число существует, потому что всегда есть фигура во всяком случае в качестве такой фигуры можно взять пустое множество, которое заведомо по определению принадлежит кроме того, так как то для любой имеет место и существует

Для любого ограниченного множества имеет место неравенство

потому что если то

По определению множество измеримо в n-мерном смысле по Жордану, если его внутренняя и внешняя меры равны между собой:

Число называют n-мерной мерой Жордана множества (коротко, мерой G).

Мы видим, что Но далеко не всякое ограниченное в множество измеримо (по Жордану), и только для измеримых множеств существует число

Зададим произвольное ограниченное множество Пусть

(см. рис. 12.2 в случае ). Тогда

есть фигура, содержащая в себе границу множества

С другой стороны, если задана произвольная фигура покрывающая то, положив , получим фигуры со свойствами (1), (2) (см. рис. 12.2).

Напомним, что граничной точкой называется точка в любой окрестности которой имеются как точка так и точки дополнительного к множества Сама точка может принадлежать и не принадлежать Совокупность всех граничных точек составляет границу множества замкнуто,

Фигура

содержит в себе границу множества . В самом деле, так как замкнутое множество, то следовательно, Внутренние точки а являются внутренними и для Только граница а может содержать точки при вычитании а эти точки выбрасываются из но при замыкании возвращаются в . Так что а содержит все точки

Лемма 1. Для того чтобы множество было измеримым, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовали две фигуры такие, что

Действительно, если множество измеримо, то найдутся такие что

Наоборот, из того, что следует, что , а если , то и вследствие произвольности

Из леммы 1 следует, что измеримое множество ограничено.

Лемма 2. Для того чтобы множество было измеримым по Жордану, необходимо и достаточно, чтобы его граница имела жорданову n-мерную меру нуль, т. е. всякого должна найтись покрывающая фигура имеющая меру

Доказательство. Пусть множество измеримо. Тогда для всякого (см. рис. 12.2) найдутся две фигуры такие, что Но фигура покрывает и ее мера Наоборот, пусть для любого можно указать покрывающую фигуру (см. рис. 12.2) Но мы уже знаем, что суть фигуры (см. рис. 12.2), и притом Это показывает в силу леммы 1, что измеримое множество.

Пример 1. Фигура есть измеримое (в -мерном смысле) множество. Ведь

Пример 2. Множество состоит из точек плоскости с рациональными координатами. Пустое множество есть единственная фигура, принадлежащая . С другой стороны, единичный квадрат его есть фигура наименьшей двумерной меры, содержащая в себе Таким образом, и множество в двумерном смысле неизмеримо.

Можно рассуждать иначе: есть граница при этом т.е. меры, большей нуля. Следовательно, неизмеримо.

Конечно, если считать, что принадлежит плоскости пространства то трехмерная мера равна нулю. По-прежнему его внутренняя мера равна нулю, но внешняя мера тоже равна нулю, ведь можно покрыть фигурой (прямоугольным параллелепипедом) а как угодно малой меры.

Лемма 3. Сумма двух множеств имеющих жорданову меру нуль, в свою очередь имеет жорданову меру нуль.

Действительно, по условию для всякого существуют фигуры такие, что Тогда фигура будет обладать свойствами

Лемма 4. Вместе есть множество жордановой меры нуль.

Лемма очевидна.

Теорема 1. Если два множества измеримы по Жордану, то измеримы по Жордану также их сумма, разность и пересечение.

Доказательство. Будем обозначать через границу множества Имеют место легко проверяемые теоретико-множественные вложения

(см. рис. 12.3).

Так как измеримы, то по лемме Но тогда по лемме 3 правые части написанных вложений имеют меру нуль, по лемме 4 и левые части имеют меру нуль. Отсюда, применяя снова лемму 2, получим, что множества, указанные в теореме, измеримы.

Рис. 12.3

Лемма 5. Если измеримое по Жордану множество рассечь на две части при помощи поверхности (в частности, плоскости), имеющей жорданову меру нуль, то каждая часть в свою очередь измерима по Жордану.

Доказательство. Очевидно, что

откуда на основании предыдущих лемм следует утверждение.

Таким образом, если есть измеримое по Жордану множество, то любая сетка делящая на равные n-мерные кубики с ребром длины дробит на части, каждая из которых измерима по Жордану. Диаметр каждой из этих частей не превышает Таким образом, при диаметры частей равномерно стремятся к нулю.

Теорема 2. Если множества измеримы по Жордану и имеют общие точки, принадлежащие разве что их границам, то их (измеримая по теореме 1) сумма имеет меру, равную сумме их мер:

Доказательство. Зададим и подберем фигуры такие, что

Положим Очевидно, что фигуры, при этом и

Равенство в (4) справедливо потому, что и вместе с пересекаются разве что по своим границам. Теперь очевидно, что

откуда в силу произвольности следует (3).

Теорема 3. Если измеримы по Жордану и

Доказательство. Измеримость доказана в теореме 1, поэтому измеримое множество распадается на два непересекающихся измеримых множества: Но тогда равенство (5) следует из предыдущей теоремы.