§ 16.5. Обобщенные функции в смысле D

Зададим произвольный интервал конечный или бесконечный, содержащий в себе точку

Пусть есть пространство функций действительных или комплексных (и тогда ), бесконечно дифференцируемых и финитных в

D называют основным пространством для пространства обобщенных функций, определенных на Функция

есть пример функции если Она была рассмотрена в примере 1 § 5.11. Ее бесконечная дифференцируемость на интервалах очевидна. Непрерывность же ее и ее производных в точках и равенство их нулю в этих точках обнаружится, если учесть, что производная любого порядка к есть конечная сумма произведений вида где рациональные функции. При функции стремятся к медленнее, чем и поэтому . Носитель функции есть

а на интервале функция положительна.

При соответствующих числах можно получить функцию

имеющую своим носителем любой заданный отрезок а на интервале - положительную .

D есть линейное множество, нормированное посредством равенства

Будем говорить, что последовательность функций сходится в смысле к функции и писать

если:

1) существует отрезок содержащий в себе носители функций

2) для любого

равномерно на (но тогда и на Вместо (2) можно написать:

Если каждой функции приведено в соответствие число (действительное для действительного и комплексное для комплексного то говорят, что этим определен функционал

Функционал непрерывный, если

т.е. из того, что следует, что Функционал линейный, если

для действительных, соответственно комплексных

Линейный непрерывный функционал на называется обобщенной функцией на и обозначается:

Совокупность всех обобщенных функций, заданных на обозначают через

Говорят, что есть пространство обобщенных функций над Приведем важные примеры обобщенных функций. Пример 1. Пусть обычная функция, локально интегрируемая на т. е. она принадлежит на любом отрезке Интеграл

есть линейный непрерывный функционал т.е. обобщенная функция.

В самом деле, интеграл (3) определен для любой функции Ведь если

то

Линейность (относительно интеграла (3) очевидна, а непрерывность следует из (4). Ведь если то существует один и тот же отрезок такой, что

Поэтому в силу (4)

Мы получили, что каждая локально интегрируемая на функция порождает при помощи (3) линейный непрерывный функционал на

Существенно, что имеет место взаимная однозначность между указанными функциями и функционалами (3), т. е. если два функционала вида (3), определенные локально интегрируемыми функциями равны:

то функции равны между собой, во всех точках х их непрерывности.

Ведь если положить то из (5) следует

Но если есть точка непрерывности то существуют содержащий отрезок и число такие, что

Взяв в качестве функцию с носителем, совпадающим с такую, что получим противоречие:

Мы получили, что каждая локально интегрируемая на функция определяет при помощи (3) непрерывный линейный функционал на разным таким функциям (отличающимся в некоторых их точках непрерывности) соответствуют разные линейные непрерывные функционалы на

На основании этого утверждения локально интегрируемые на функции идентифицируются (отождествляются) с обобщенными функциями на (линейными непрерывными функционалами, определенными посредством (3)).

Пишут

Таким образом, каждая локально интегрируемая на функция есть обобщенная функция

Пример 2. Каждой функции приводится в соответствие число, равное ее значению в точке

Функционал линейный:

Он также непрерывен, ведь для

Таким образом, функционал (7) есть обобщенная функция Ее называют -функцией (дельта-функцией). Пишут также

хотя -функция не есть обычная функция. В самом деле, допустим, что есть обычная локально абсолютно интегрируемая функция. Тогда должно иметь место равенство

Но если точка непрерывности этой функции, для которой существовал бы содержащий отрезок такой, что при некотором

Но для функции обладающей свойством

получилось бы

Подобным образом доказывается, что нет точки непрерывности функции для которой Тогда функция равна нулю во всех точках ее непрерывности, отличных от нуля. Однако для такой функции левая часть в (8) равна нулю для всех Но есть же которой т.е. равенство (8) для всех невозможно.

Итак, -функция есть существенно обобщенная функция, она не есть обычная функция.

Операция отображающая функции называется непрерывной в смысле если из того, что следует

Операция линейна, если

Теорема 1. Операция производной порядка к

линейна и непрерывна.

Доказательство. Линейность очевидна.

Пусть тогда при любом

а это и значит, что

Определение. Производная от определяется как такая обобщенная функция, обозначенная для которой

Данное определение корректно потому, что правая часть (10) есть действительно линейный непрерывный функционал. Линейность его очевидна. Непрерывность же устанавливается так: операция непрерывно зависит от а операция непрерывно зависит от потому что есть заданная обобщенная функция, т. е. непрерывный линейный функционал.

С другой стороны, определение (10) естественно, ведь для обычных хороших функций оно имеет место. Например, если непрерывно дифференцируемая на функция и то

Таким образом, любую обобщенную функцию можно дифференцировать сколько угодно раз и получить снова обобщенные функции по формуле

Например,

Определение. Последовательность обобщенных функций сходится к обобщенной функции смысле если

При этом пишут

Теорема 2. Если при любом

Доказательство. Пусть Тогда

Пример 3.

потому что

(см. § 15.4, (2)).

Пример 4.

потому что

(см. § 16.2, (8)).

Пример 5.

потому что

Примеры 4 и 5 дают представление о приближении -функции классическими обычными функциями в смысле Определение. Ряд обобщенных функций

сходится в смысле если

В этом случае пишут

Теорема 3. Сходящийся в смысле ряд можно почленно дифференцировать любое число раз. Ведь из (12) и (13) следует

т. е.