§ 5.7. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Локальный экстремум

Функция называется строго возрастающей на интервале (или отрезке ), если для любых точек из (или ), удовлетворяющих неравенству имеет место неравенство

Функция называется неубывающей на (или ), если из того, что (или ) следует, что

Аналогично, функция называется строго убывающей, соответственно невозрастающей на (или ), если из того, что (или ), следует, что соответственно

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х. Тогда для достаточно малых имеет смысл ее приращение в точке

По определению функция

1) возрастает в точке х, если существует такое, что

2) убывает в точке если существует такое, что

3) достигает локального максимума в точке если существует такое, что

4) достигает локального минимума в точке если существует такое, что

Подчеркнем, что все неравенства должны соблюдаться для достаточно малых положительных и отрицательных.

Указанные четыре свойства можно еще выразить так: для всех точек и для всех точек имеет место:

и для всех точек :

т.е. в случае 3) значение в точке является максимальным в достаточно малой окрестности жив случае 4) значение в точке х является минимальным в достаточно малой окрестности х.

Локальные максимум или минимум называют локальным экстремумом.

В дальнейшем нас будет интересовать вопрос, как узнать, что имеет место тот или иной из приведенных четырех случаев, если известны производные от первого или более высокого порядка в точке х или по соседству с ней.

Допустим, что функция в точке х имеет положительную производную:

Таким образом, величина являющаяся при фиксированном х функцией от стремится к положительному числу. Но тогда (см. теорему 2 § 4.1) и сама эта величина должна быть положительной для всех удовлетворяющих неравенству при достаточно малом т.е. согласно определению 1) функция в точке х должна возрастать.

Аналогично доказывается, что если то убывает в точке х. Мы доказали следующую теорему.

Теорема. Если функция в точке х имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) в этой точке.

Из этой теоремы немедленно следует

Теорема Ферма. Если функция достигает в точке х локального экстремума (максимума или минимума) и в ней существует производная то последняя равна нулю

В самом деле, если бы то в силу предыдущей теоремы функция должна была быть возрастающей или убывающей в точке что исключает возможность существования экстремума функции в этой точке.

Эту теорему можно сформулировать и так:

Для того чтобы функция имеющая в точке производную, достигала в ней локального экстремума, необходимо, чтобы производная от в этой точке была равна нулю.

Конечно, условия недостаточно, чтобы функция имела в локальный экстремум. Если то функция может не иметь локального экстремума в точке Она может в этой точке возрастать, как это имеет место, например, для функции при убывать (например, при а может точка и не быть ни точкой возрастания, ни убывания, ни точкой экстремума функции. Например, функция

имеет производную потому что

(ведь ). С другой стороны, в любой как угодно малой окрестности точки как справа, так и слева от нее принимает положительные и отрицательные значения. Поэтому точка не является ни точкой возрастания, ни точкой убывания, ни точкой экстремума функции

В следующем параграфе мы переходим к очень важным теоремам, называемым теоремами о среднем. С их помощью будет весьма удобно получить дальнейшие заключения, относящиеся к теории локальных экстремумов.