§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования
Теорема 1. Пусть на открытом плоском множестве 
задана функция 
Если она имеет в точке 
непрерывные смешанные производные дхду, дудх 
то они Равпы между собой в этой точке:
В самом деле,
Далее (пояснения ниже),
Так как производная непрерывна в точке 
, то тем самым она существует в достаточно малой окрестности этой точки и автоматически в этой окрестности существует 
При достаточно малом 
мы не выходим из этой окрестности, и законно, как это сделано
во втором равенстве (3), применить теорему о среднем по у к функции 
Предпоследнее равенство есть применение этой же теоремы по 
к что законно, потому что в указанной окрестности существует частная производная 
Последнее равенство, где отмечается, что 
при 
выражает, что производная 
в точке 
непрерывна. Из (3) следует, что
Аналогично, пользуясь непрерывностью 
доказывается равенство
и так как 
при любых 
то верно и (1).
Заметим, что непрерывность обеих входящих в (1) частных производных есть только достаточное условие для выполнения равенства (1). В литературе известны и менее ограничительные накладываемые на 
условия, влекущие за собой это равенство. Но очень редко приходится их применять.
Пусть дан целочисленный неотрицательный вектор 
Будем говорить, что частная производная подчинена вектору к, если, каково бы ни было 
при ее вычислении применяется операция не больше чем 
раз. Если, в частности, 
то операция не применяется. Теперь мы можем сформулировать теорему. 3
Теорема 2. Если все подчиненные вектору к частные производные от функции 
непрерывны 
в точке х, то в любой из них можно переставить порядок дифференцирования как угодно, не изменяя результата.
Доказательство этой теоремы во всей ее общности потребовало бы хотя и простой, но громоздкой индукции. Мы ограничимся только примером. производная 
подчинена, очевидно, вектору (1,1,2). В предположении, что не только она, но и все частные производные от 
подчиненные этому вектору, непрерывны по 
можем, пользуясь всякий раз либо определением частной производной, либо теоремой 1, получить равенства
Например, во втором равенстве мы рассуждаем так: частные производные 
по условию непрерывны относительно тем более они непрерывны при фиксированном 
относительно 
поэтому они равны. В пятом равенстве это же рассуждение проводится для 
Упражнение. Показать, что функция
называемая фундаментальным решением уравнения теплопроводности, удовлетворяет дифференциальным уравнениям в частных производных:
