§ 12.18. Гладкая поверхность

Функция

непрерывно дифференцируемая на области определяет в евклидовом пространстве гладкую поверхность заданную явно.

Непрерывная дифференцируемость влечет существование касательной плоскости к поверхности в любой ее точке коротко, в точке (см. § 7.5).

Уравнение касательной в точке как мы знаем, имеет

Здесь текущие координаты Числа

пропорциональны соответствующим компонентам нормали к (или, что все равно, к ) в точке Из этой точки можно выпустить две единичные нормали к

соответствующие знакам перед корнем.

Мы видим, что так как по условию производные непрерывны, то каждая из этих единичных нормалей непрерывно зависит от точки поверхности

Сделаем общее определение, которое касается любых гладких поверхностей, заданных явно и неявно.

Гладкая поверхность называется ориентируемой, если из любой ее точки можно выпустить единичную нормаль к ней, непрерывно зависящую от положения этой точки на

Мы видим, что гладкая поверхность, заданная явно, ориентируема. При этом существуют два способа ее ориентации — вектор по и вектор каждый из них непрерывно зависит от положения точки на , из которой он выпущен.

Очевидно, и в общем случае если гладкая поверхность ориентируема, т. е. если для нее существует закон, следуя которому каждой точке соответствует выпущенный из нее единичный вектор непрерывно зависящий от положения точки на то, заменив на получим второй закон ориентации

Таким образом, если поверхность ориентируема, то существуют две ее ориентации, называемые противоположными ориентациями

Если буква означает ориентируемую поверхность, то ту же поверхность, ориентированную противоположно, удобно обозначить другим символом, например символом Можно еще исходную ориентированную поверхность обозначить через , а ей противоположно ориентированную поверхность — через

Соответственно возникают две ее стороны.

Например, в случае поверхности (1) естественно рассматривать ее верхнюю сторону соответствующую единичной нормали к ней, образующей острый угол с осью и нижнюю сторону, соответствующую нормали, образующей тупой угол с осью

Но гладкая поверхность может быть задана параметрически как геометрическое место точек с координатами, определяемыми функциями

непрерывно дифференцируемыми на некоторой области параметров При этом предполагается выполнение добавочного условия

где

— радиус-вектор текущей точки , а его частные производные соответственно по и Так как

то

и

Из записи (9) неравенства (5) следует, что для любой точки нашей поверхности одно из слагаемых под знаком корня отлично от нуля. Пусть в точке будет

Тогда на основании теоремы о неявных функциях существует окрестность и точки на которой отображение

обратимо:

Здесь непрерывно дифференцируемы на Но тогда

где непрерывно дифференцируемая функция.

Таким образом, для любой точки гладкой поверхности заданной параметрически, существует шаровая поверхность с центром в этой точке, вырезывающая из гладкий кусок, определяемый одним из равенств

где функции непрерывно дифференцируемы.

Одно из этих представлений во всяком случае имеет место. Но может быть и два или три.

Говорят еще, что гладкая поверхность, заданная параметрически, локально проектируется на одну из плоскостей Таким образом, некоторый кусок поверхности в окрестности ее точки представляет собой гладкую поверхность, описываемую явно. В любой его точке существует касательная плоскость к

Заметим, что любой вектор, исходящий из точки и касающийся принадлежит касательной плоскости в этой точке. Можно еще сказать, что состоит из таких векторов. Но достаточно двух таких векторов (неколлинеарных), чтобы они определили плоскость L.

В качестве таких векторов можно взять векторы

Оба они касаются в точке Они неколлинеарны, потому что

Вектор нормален к а векторы

суть два единичных вектора нормали к в точке

По условию вектор имеет непрерывные производные по поэтому числитель в дроби (14) есть непрерывная вектор-функция, а знаменатель — непрерывная скалярная функция от отличная от нуля. Но тогда единичная нормаль есть непрерывная вектор-функция от т.е. непрерывно изменяется вместе с изменением точки на

Это показывает, что вектор ориентирует поверхность Вектор же ориентирует противоположным образом.

Таким образом, гладкая поверхность, заданная параметрически, ориентируема.