§ 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный интеграл
Для достаточно общих плоских областей 
с положительно ориентированной границей 
справедлива формула
называемая формулой Грина. Здесь предполагается, что 
непрерывны на 
Рис. 13.5
Рис. 13.6
Докажем формулу Грина для прямоугольника (рис. 13.5) 
и формула (1) доказана.
Докажем теперь (1) для области 
изображенной на рис. 13.6, где дуга 
описывается непрерывной строго возрастающей на 
функцией 
Обратную к ней функцию обозначим через 
Имеем
откуда и следует (1).
Если повернуть область 
как твердое тело вокруг начала координат на угол 
оставив систему координат неизменной, то мы получим еще три множества, которые вместе с 
мы будем называть множествами типа 
Заодно будем всякий прямоугольник называть областью типа 
По аналогии доказывается, что формула Грина имеет место для любого множества типа 
Справедлива
Теорема. Пусть область 
с непрерывной, кусочно гладкой границей 
обладает тем свойством, что ее замыкание 
может быть разрезано прямыми, параллельными осям координат х, у, на конечное число частей, каждая из которых есть область типа 
Тогда для 
справедлива формула Грина.
Доказательство. Пусть 
есть разбиение 
на части типа 
и пусть 
обозначает положительно ориентированный контур 
Тогда в силу того, что для областей 
формула Грина верна, получим
Поясним последнее равенство. Общая граница С всех 
состоит из 
и суммы конечного числа отрезков, каждый из которых принадлежит 
и служит границей двух соседних областей типа и. При этом отрезок обходится два раза в противоположных направлениях, и поэтому криволинейные интегралы, соответствующие этим обходам, компенсируют друг друга. Остается только интеграл по 
На рисунке 13.7 изображена область (двухсвязная), разбитая на конечное число областей типа и.
Замечание 1. В доказанной теореме, очевидно, можно всюду заменить кусочно гладкие непрерывные кривые на ломаные — непрерывные кривые, состоящие из конечного числа прямолинейных отрезков. Если плоская область ограничена замкнутой ломаной, то ее можно разрезать прямыми, параллельными осям, на конечное число с-областей, и потому к такой области применима теорема Грина.
Пусть теперь некоторая плоская область 
односвязна и на ней задан вектор а, для которого 
Зададим произвольный замкнутый ломаный контур 
Если он не самопересекается, то все точки внутри него принадлежат 
следовательно, по теореме Грина
Рис. 13.7
Если же контур 
самопересекается, то он образует конечное число петель. Интеграл от 
по контуру каждой петли, очевидно, равен нулю, а в целом 
Это показывает, что вектор 
на 
имеет потенциальную функцию.
Замечание 2. На практике часто приходится иметь дело с формулой Грина в том случае, когда функции 
непрерывны на 
а их частные производные и непрерывны только на 
и тогда обычно формула Грина (1) верна, только кратный интеграл в ее левой части надо понимать в несобственном смысле. Пусть в качестве примера 
есть круг 
Обозначим через концентрический с ним круг 
с границей 
(окружностью радиуса 
. Тогда в силу уже доказанного
Так как 
равномерно непрерывны на 
то правая часть (2) при 
стремится к пределу, равному результату
подстановки в нее 
но тогда и левая часть стремится в пределе к несобственному кратному интегралу (с особенностями на Г, см. § 13.13, замечание 1):
Пусть 
есть плоская область, к которой применима формула Грина, и 
положительно ориентированная ее граница. Тогда площадь 
равна
что следует из формулы Грина, если положить в ней 
Из формулы (3), очевидно, следует равенство
где плюс соответствует случаю, когда контур 
ориентирован положительно 
а минус — когда контур 
ориентирован отрицательно 
Пример 1. Площадь эллипса, точнее, площадь внутренности эллипса, заданного параметрически уравнениями 
равна
