§ 12.6. Понятие кратного интеграла

Определим это понятие в n-мерном случае. Специально в двух- и трехмерном случаях оно уже вводилось в § 12.1 схематически.

Пусть есть n-мерное евклидово пространство точек измеримое (следовательно, ограниченное) множество и на задана функция

Введем разбиение на частичные множества, т.е. представим в виде суммы:

конечного числа измеримых в n-мерном смысле по Жордану множеств которые могут попарно пересекаться только по частям своих границ. Различные разбиения мы будем обозначать символами Такое разбиение можно получить, разрезая поверхностями, имеющими n-мерную меру нуль.

В каждом частичном множестве разбиения выберем произвольную точку и составим интегральную сумму (по Риману):

где мера Жордана множества

Надо иметь в виду, что зависит от функции способа разбиения на части и выбора точек в каждом из частичных множеств разбиения.

Обозначим через максимальный диаметр множеств

По определению предел

интегральной суммы называется определенным (п-кратным) интегралом в смысле Римана от функции по множеству

Таким образом, определенным интегралом от функции по множеству называют предел, к которому стремится ее интегральная сумма, соответствующая переменному разбиению когда максимальный диаметр частичных множеств разбиения стремится к нулю (независимо от выбора точек

Как обычно в анализе, это определение можно понимать в двух (эквивалентных) смыслах: на языке и на языке последовательностей.

На языке оно формулируется так:

Интегралом Римана от функции по множеству называют число удовлетворяющее следующему свойству, для всякого должно найтись такое зависящее от что, каково бы ни было разбиение на части с диаметрами, меньшими , и каков бы ни был выбор точек выполняется неравенство

На языке последовательностей оно формулируется так:

Интеграл Римана от функции по множеству есть предел, к которому стремится любая последовательность интегральных сумм функции соответствующих разбиениям со стремящимся к нулю максимальным диаметром частичных множеств:

Замечание 1. Сейчас уже заметим, что если определенная на измеримом множестве функция ограничена и если для нее при некоторой вполне определенной последовательности разбиений существует предел (5), равный не зависящий от выбора точек то этого, как будет доказано в дальнейшем, достаточно для того, чтобы сказать, что существует интеграл от на равный тогда автоматически выполняется равенство (5), какова бы ни была последовательность разбиений для которой теорема 2).

Напомним, что в § 12.2 (после леммы 5) было показано, что измеримое множество всегда можно разбить на части, имеющие диаметры, меньшие наперед заданного

Интеграл Римана от функции по если он существует, обозначается так:

В этом случае говорят еще, что интегрируема по Риману на -кратный интеграл от на множестве записывают еще так:

Это обозначение удобно потому, что, как мы увидим в дальнейшем, вычисление кратного интеграла сводится к вычислению соответствующих однократных интгралов в отдельности по

Если функция на измеримом множестве то ее интегральная сумма равна числу

не зависящему от способа разбиения на части. Поэтому

Отметим еще, что если имеет жорданову меру нуль то

для любой конечной на функции даже если она не ограничена. Таким образом, из интегрируемости на не всегда следует ограниченность на При исследовании функции определенной на произвольном измеримом множестве мы заранее будем предполагать, что она ограничена на

В будущем, чтобы избежать лишних слов, согласимся, что если про функцию мы будем говорить, что она интегрируема по Риману на множестве то под этим будет подразумеваться, что есть измеримое в n-мерном смысле по Жордану множество. Это соглашение вполне естественно, так как определение интеграла по Риману на тесно связано с измеримостью по Жордану.