§ 7.18. Гладкая поверхность
Пусть 
есть трехмерное пространство, где определена прямоугольная система координат 
Если 
открытое множество в плоскости 
и
есть функция, имеющая на 
непрерывные частные производные (первого порядка), то множество 
описываемое этой функцией, называется гладкой поверхностью.
Про эту поверхность мы будем говорить, что она проектируется на плоскость 
Равенство (1) устанавливает взаимно однозначное соответствие 
между точками 
и точками 
Можно, конечно, рассматривать гладкие поверхности, описываемые уравнениями вида 
или 
т.е. когда они (взаимно однозначно) проектируются соответственно на плоскости 
.
Мы еще будем говорить, что эти поверхности заданы в явном виде.
Распространим теперь эти понятия на поверхности, которые в целом вообще не проектируются ни на одну из координатных плоскостей.
Пусть на открытом трехмерном множестве 
задана произвольная функция 
непрерывная вместе со своими частными производными первого порядка. Уравнение
определяет некоторое множество 
точек 
Если 
непустое множество и
то 
будем называть гладкой поверхностью, заданной неявно.
Пусть 
. В силу (3) одна из частных производных от 
в точке 
не равна нулю; будем считать, что 
Тогда в силу непрерывности частных производных от 
на основании теоремы о неявной функции (см. § 7.15, теорема 1) существует трехмерный прямоугольник
вырезающий из 
часть 
описываемую явно непрерывно дифференцируемой функцией
т. е. 
кусок поверхности 
определяемый явно.
Кусок а (или поверхность 
имеет в точке 
касательную плоскость, определяемую уравнением (см. § 7.5, (16))
или в силу равенств (см. § 7.15, (11))
уравнением
Мы получили уравнение касательной плоскости к поверхности 
в ее точке 
когда 
в точке задана неявно уравнением (2).
Пример 1. Шаровая поверхность 
есть гладкая поверхность, потому что функция 
имеет непрерывные частные производные 
одновременно не равные нулю на (непустом множестве) 
Касательная плоскость к 
в точке 
имеет, очевидно, вид
Пример 2. Уравнение 
определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью х.
Частные производные от функции 
равные 
обращаются одновременно в нуль только в начале координат. Из геометрических соображений видно, что в начале координат конус не имеет касательной плоскости, во всех же остальных точках касательная плоскость к рассматриваемому конусу существует и непрерывно изменяется вместе с точкой, в которой она касается конуса.
С точки зрения введенной терминологии, можно сказать, что круговой конус, если из него выбросить его вершину, есть гладкая поверхность.
