Теорема 1. Пусть функция 
непрерывна на 
и имеет вторую производную на 
.
Для того чтобы кривая 
была выпуклой кверху (книзу) на 
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 
для всех 
Доказательство. Пусть наша кривая выпуклая кверху на 
Тогда для любых 
таких, что 
имеет место неравенство 
откуда 
.
Если теперь 
произвольные точки интервала 
то, положив 
будем иметь
Таким образом, 
переходя к пределу при 
получим неравенство
показывающее, что производная 
на интервале 
не возрастает. Но тогда 
Она 
Рис. 5.10
Обратно, пусть 
Нам нужно доказать, что функция 
где 
удовлетворяет неравенству 
на 
Допустим, что это не так. Тогда 
Поэтому 
Применив формулу Тейлора, получим
Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию.
Доказательство в случае 
аналогично.
Пример 1. Функция 
имеет непрерывную первую производную и вторую производную
на 
Поэтому хорда 
стягивающая дугу кривой 
на 
ниже синусоиды (рис. 5.10). Так как уравнение хорды 
, то мы получим неравенство
часто употребляемое в математическом анализе.
называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке 
если любая дуга этой кривой с концами в точках 
расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды (рис. 5.8, 5.9).
