§ 7.13. Формула Тейлора

Ограничимся трехмерным случаем. Рассуждения в n-мерном случае будут совершенно аналогичными и не сложнее. Пусть на области задана функция

Те частные производные, которые мы будем записывать для нее, предполагаем непрерывными на

Пусть настолько мало, что шар принадлежит

Для точки которая некоторое время будет считаться фиксированной, вводим вспомогательную функцию

Разлагая ее по формуле Тейлора по одной переменной получим

Но

И мы получаем формулу Тейлора функции по степеням второй степени в форме Лагранжа:

Эта формула выведена в предположении того, что функция непрерывна вместе со своими частными производными второго порядка на при этом Но

где при т. е. при

Заметим еще, что

где Ведь

На основании величина может быть записана следующим образом:

Но тогда функцию можно записать в следующей форме (Пеано):

Мы получили формулу Тейлора функции по степеням степени 2 в форме Пеано. Здесь предполагалось, что функция имеет на непрерывные частные производные порядка 2.

Запишем в общем виде формулу Тейлора функции степени по степеням только в форме Пеано:

В этой формуле уже предполагается, что функция имеет на непрерывные частные производные порядка k.

Заметим, однако, что приведенные выше формулы записаны без учета того факта, что непрерывные смешанные частные производные не изменяются при изменении порядка дифференцирования по разным переменным. Ведь, например, два числа

могут быть объединены.

При таком объединении возникают новые формы записи формулы Тейлора, выражаемые через биномиальные коэффициенты (см. 4-е издание книги автора "Курс математического анализа", § 7.13, 7.14, там же доказывается единственность разложения по формуле с остатком Пеано).

Выпишем все же соответствующую формулу для функций от двух переменных:

Предпоследний член справа представляет собой символическую запись: выражение в квадратных скобках возводится формально в степень по биному Ньютона, полученную дифференциальную операцию применяют к наконец, подставляют в частные производные

Примечание. Формула Тейлора с остатком первой степени в форме Лагранжа выглядит так:

Мы записали ее в n-мерном случае.

Пример 1. При

мы получили разложение функции в окрестности точки (0,0) по формуле Тейлора с остаточным членом , в форме Пеано.

Это следует из факта единственности разложения функции по формуле Тейлора в форме Пеано. Доказательство этого факта, впрочем, мы здесь не привели. Предоставляем это читателю.