§ 3.9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел

Множество элементов х любой природы называется бесконечным, если, каково бы ни было натуральное число в нем имеется больше чем элементов.

Е называется счетным, если оно бесконечно и его элементы можно перенумеровать. Это значит, что между (всеми) элементами и числами натурального ряда

можно установить взаимно однозначное соответствие. Если при этом элементу соответствует натуральное число то естественно обозначить его через . В результате множество можно записать в виде последовательности элементов:

Надо учесть, что в данном случае все элементы, входящие в последовательность, различны. Так что если это числа, то при к

В частности, множество (1) натуральных чисел тривиальным образом счетно. Очевидно также, что множество четных натуральных чисел счетно, потому что оно бесконечно и его элементы х можно занумеровать, положив

Пусть есть счетное множество, перенумерованное в виде последовательности (2), и А — непустая его часть. Тогда в А имеется элемент с наименьшим номером. В самом деле, в (2) имеется элемент А с некоторым номером Элементов в А с номерами имеется только конечное число; среди них можно выбрать элемент с наименьшим номером — это и будет, очевидно, элемент А, имеющий самый малый номер в А.

Если счетное множество и А — его бесконечная часть, то А — счетное множество, которое можно занумеровать следующим образом: обозначим через элемент А с наименьшим номером в выкидываем из А этот элемент и в оставшемся бесконечном множестве выбираем элемент с наименьшим номером в который обозначаем через выкидываем из и т.д.

Счетная (теоретико-множественная) сумма

счетных множеств есть счетное множество. В самом деле, запишем элементы в виде таблицы:

Перенумеруем их в следующем порядке:

выбрасывая, однако, на каждом этапе нумерации те элементы, которые уже были занумерованы на предыдущем этапе: ведь может случиться,

что имеют общие элементы. В результате получим бесконечную последовательность элементов очевидно, исчерпывающую множество Это доказывает, что счетное множество.

Аналогично доказывается, что конечная сумма счетных или конечных множеств, среди которых есть хотя бы одно счетное, счетна.

Докажем, что множество положительных (отрицательных) рациональных чисел, а следовательно, множество всех рациональных чисел счетны.

Чисел p/q ( целые) с р + q = 1 нет, среди же чисел имеется одно: ; обозначим его через Среди (не занумерованных еще) чисел имеются два: ; обозначим их соответственно через этот процесс продолжаем по индукции. В результате все положительные рациональные числа будут, очевидно, перенумерованы.

С другой стороны, множество всех действительных чисел не счетно (несчетно).

Докажем, что уже единичный интервал (0,1) есть несчетное множество, откуда и будет следовать высказанное утверждение, потому что мы знаем, что часть счетного множества может быть только конечной или счетной. Точки х (числа) интервала (0,1) будем записывать в виде бесконечных дробей, не имеющих периода 9. Допустим, что интервал (0,1) есть счетное множество, тогда все его точки можно было бы перенумеровать:

Однако это заключение, как мы сейчас увидим, противоречиво. Для каждого натурального определим цифру так, чтобы выполнялись неравенства ачто, очевидно, возможно. Сконструируем число Оно принадлежит интервалу (0,1) и должно, таким образом, значиться под некоторым номером по в таблице (3): Но тогда должно было бы быть что невозможно.

Упражнения.

1. Доказать, что множество точек плоскости с рациональными координатами счетно.

2. То же доказать для множества точек -мерного пространства с рациональными координатами